Садржај

• Кораци
• Савет

Ако сте математичар или графички програмер, вероватно ћете морати да пронађете угао између два дата вектора. У овом чланку викиХов вам показује како да то учините.

Кораци

1. део од 2: Пронађите угао између два вектора

1. 

   Дефиниција вектора. Запишите све информације о два вектора која имате. Претпоставимо да имате само одређене параметре њихових димензионалних координата (које се називају и компоненте). Ако већ знате дужину (величину) вектора, можете прескочити неке од доле наведених корака.
   • Пример: Дводимензионални вектор = (2,2) и дводимензионални вектор = (0,3). Такође се могу записати као = 2и + 2ј и = 0и + 3ј = 3ј.
   • Иако се у примеру овог чланка користе дводимензионални вектори, следећа упутства се могу применити на векторе са било којим бројем димензија.

2. 

   
   
   Запишите формулу косинуса. Да бисмо пронашли угао θ између два вектора, започињемо са формулом за проналажење косинуса за тај угао. О овој формули можете сазнати у наставку или је једноставно записати овако:
   • цосθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| значи „дужина вектора“.
   • • је скаларни производ два вектора - ово ће бити објашњено у наставку.

3. 

   
   
   Израчунајте дужину сваког вектора. Замислите да правоугли троугао чине к, и компоненте вектора и сам вектор. Вектор формира хипотенузу троугла, па за проналажење његове дужине користимо Питагорину теорему. Заправо, ову формулу је лако проширити на вектор било ког броја димензија.
   • || у || = у₁ + у₂. Ако вектор има више од два елемента, само треба да наставите да додајете + у₃ + у₄ +...
   • Дакле, за дводимензионални вектор, || у || = √ (у₁ + у₂).
   • У овом примеру, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Израчунати скаларни умножак два вектора. Можда сте научили метод множења вектора, такође познат као скалар ово. Да бисте израчунали скаларни производ у односу на њихов састав, помножите састојке у сваком смеру, а затим збројите цео резултат.
   • За графички програм, погледајте Савет пре даљег читања.
   • У математици • = у₁в₁ + у₂в₂, где је у = (у₁, у₂). Ако вектор има више од два елемента, једноставно додајте + у₃в₃ + у₄в₄...
   • У овом примеру, • = у₁в₁ + у₂в₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ово је скаларни производ вектора и вектора.

5. 

   Резултате добијене ставите у формулу. Запамтите да је цосθ = (•) / (|||| || ||). Сада знамо и скаларни производ и дужину сваког вектора. Унесите их у формулу да бисте израчунали косинус угла.
   • У нашем примеру, цосθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Нађите угао на основу његовог косинуса. Помоћу функције арццос или цос у калкулатору можете пронаћи θ из познате вредности цос. Са неким резултатима, угао можете пронаћи на основу јединичног круга.
   • У примеру, цосθ = √2 / 2. Унесите „арццос (√2 / 2)“ у свој калкулатор да бисте пронашли угао. Или, можете пронаћи угао θ на јединичном кругу, на положају цосθ = √2 / 2. Тачно је за θ = /₄ или 45º.
   • Комбинујући све, коначна формула је: угао θ = арццосине ((•) / (|||| || ||))
   реклама

Део 2 од 2: Одређивање формуле угла

1. 

   Разумевање сврхе формуле. Ова формула није изведена из постојећих правила. Уместо тога, он се формира као дефиниција скаларног производа и угла између два вектора. Па ипак, то није била произвољна одлука. Враћајући се основној геометрији, можемо разумети зашто ова формула пружа интуитивне и корисне дефиниције.
   • Следећи примери користе дводимензионалне векторе јер су најлакши за разумевање и најједноставнији. Тродимензионални или више вектора имају својства дефинисана готово сличним општим формулама.

2. 

   Прегледајте Цосинеову теорему. Размотримо обичан троугао са углом θ између страница а и б, насупрот странице ц. Косинусна теорема наводи да је ц = а + б -2абцос(θ). Овај резултат се изводи једноставно из основне геометрије.

3. 

   Повежите два вектора, формирајући троугао. На папиру нацртајте пар дводимензионалних вектора, вектора и вектора, при чему је θ угао између њих. Нацртајте трећи вектор између ове две да бисте направили троугао. Другим речима, нацртајте вектор такав да је + =. Вектор = -.

4. 

   Напиши Косинову теорему за овај троугао. Замените дужину странице нашег „векторског троугла“ у Косинову теорему:
   • || (а - б) || = || а || + || б || - 2 || а || || б ||цос(θ)

5. 

   Препишите са скаларним производом. Запамтите, скаларни производ је слика једног вектора на другом. Скаларни производ вектора сам са собом не захтева пројекцију, јер овде нема разлике у правцу. То значи • = || а ||. Користећи ово, преписујемо једначину:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || а || || б ||цос(θ)

6. 

   Успешно сте написали исту формулу. Проширите леву страну формуле, а затим поједноставите да бисте добили формулу која се користи за проналажење углова.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || а || || б ||цос(θ)
   • - • - • = -2 || а || || б ||цос(θ)
   • -2 (•) = -2 || а || || б ||цос(θ)
   • • = || а || || б ||цос(θ)
   реклама

Савет

• Да бисте променили вредности и брзо решили проблем, користите ову формулу за било који пар дводимензионалних вектора: цосθ = (у₁ • в₁ + у₂ • в₂) / (√ (у₁ • у₂) • √ (в₁ • в₂)).
• Ако радите са софтвером за рачунарску графику, велика је вероватноћа да ћете морати водити рачуна само о димензији вектора без бриге о њиховој дужини. Користите следеће кораке да бисте скратили једначину и убрзали програм:
  • Нормализујте сваки вектор тако да буду једнаки 1. Да бисте то урадили, поделите сваку компоненту вектора по његовој дужини.
  • Добити нормализовани умножак скалара уместо оригиналног вектора.
  • Будући да је дужина 1, можемо да изузмемо елементе дужине из једначине. Коначно, добијена једначина угла је арццос (•).
• На основу косинусне формуле можемо брзо утврдити да ли је угао оштар или туп. Почните са цосθ = (•) / (|||| ||||):
  • Лева и десна страна једначине морају имати исти знак (позитиван или негативан).
  • Пошто је дужина увек позитивна, цосθ мора имати исти знак као скаларни производ.
  • Према томе, ако је производ позитиван, цосθ је такође позитиван. Налазимо се у првом квадранту јединичног круга, са θ <π / 2 или 90º. Угао за проналажење је оштар угао.
  • Ако је скаларни производ негативан, цосθ је негативан. Налазимо се у другом квадранту јединичног круга, са π / 2 <θ ≤ π или 90º <θ ≤ 180º. То је затворски угао.