Садржај

• На корак
• 1. део од 3: Основи анализе
• 2. део од 3: Разумевање деривата
• 3. део од 3: Разумевање интеграла
• Савети

Анализа (такође звана рачун) је грана математике усредсређена на ограничења, функције, изводе, интеграле и бесконачне серије. Овај предмет покрива велики број математике и лежи у основи многих формула и једначина које се користе у физици и механици. Вероватно ће вам требати неколико година математике у средњој школи да бисте правилно разумели анализу, али овај чланак ће вам започети учење учења препознавања кључних појмова, као и боље разумевање теорије.

На корак

1. део од 3: Основи анализе

1. Анализа је проучавање како се ствари мењају. Анализа је грана математике која испитује бројеве и графиконе, обично узете из података из стварног света, и објашњава како се они мењају. Иако се ово у почетку можда не чини врло корисним, анализа је једна од најчешће коришћених грана математике. Замислите да имате алате који ће вам рећи колико брзо ваше пословање расте у било ком тренутку или како да зацртате ток свемирског брода и колико брзо се троши његово гориво. Анализа је важно средство у инжењерству, економији, статистици, хемији и физици и допринела је многим проналасцима и открићима.
2. Функције су односи између два броја и користе се за мапирање односа. Они су правила односа између бројева и математичари их користе за израду графикона. У функцији, сваки улаз има тачно један исход. На пример: у ${ дисплаистиле и = 2к + 4,}$Размислите о концепту бесконачности. Бесконачност је стално понављање процеса. То није одређено место (не можете ићи у бесконачност), већ понашање броја или једначине, ако је то учињено заувек. Ово је важно за проучавање промена: можда ћете желети да знате колико се брзо ваш аутомобил креће у било ком тренутку, али да ли је то колико се брзо ваш аутомобил креће током тренутне секунде? Милисекунда? Наносекунда? Можете пронаћи бескрајно мање комаде времена да бисте били још прецизнији и тада долази анализа.
3. Разумевање концепта ограничења. Ограничење вам говори шта се дешава када се нешто приближи бесконачности. Узмите број 1 и поделите га са 2. Наставите да делите са 2 изнова и изнова. 1 постаје 1/2, а затим 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 итд. Сваки пут када број постане све мањи и мањи, „ближи“ нули. Али где се то зауставља? Колико пута морате поделити 1 са 2 да бисте добили нулу? Уместо да одговорите на ово питање, у анализи сте поставили једно граница У овом случају, граница је.
   • Ограничења је најлакше визуализовати на графикону - на пример, постоје ли тачке којих се графикон готово додирује, али никада сасвим?
   • Ограничења могу бити бројна, бесконачна или чак непостојећа. На пример, са секвенцом сабирања 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... и то се наставља у недоглед, коначни број постаје бескрајно велик. Граница тада постаје бесконачна.
4. Прегледајте основне математичке концепте алгебре, тригонометрије и основе математике. Анализа се ослања на већи део математике коју сте раније научили. Добро информисање о свим темама олакшава учење и разумевање анализе. Неке теме које треба размотрити су:
   • Алгебра. Морате да разумете различите процесе и да будете у стању да решавате једначине и системе једначина са више променљивих. Разумевање основа колекција. Вежбајте израду графикона.
   • Геометрија. Геометрија је проучавање облика. Требали бисте имати основно знање о троугловима, правоугаоницима и круговима и како израчунати ствари попут опсега и површине. Разумети углове, праве и координате
   • Тригонометрија. Тригонометрија је грана математике која се бави својствима кругова и правоуглих троуглова. Знати како се користе тригонометријски идентитети, графикони, функције и инверзне тригонометријске функције.
5. Купите графички калкулатор. Анализу није лако разумети а да се не види шта радите. Графички калкулатори чине функције визуелним, тако да можете боље разумети са којим једначинама имате посла. Често се ограничења приказују и на екрану, а изводи и функције израчунавају се аутоматски.
   • Многи паметни телефони и таблети данас нуде јефтине, али ефикасне графичке апликације ако не желите или не можете купити графички калкулатор.

2. део од 3: Разумевање деривата

1. Анализа се користи за проучавање „промене у одређеном тренутку“. Знање зашто се нешто мења у тачном тренутку је срж анализе. На пример, анализа вам даје не само брзину аутомобила, већ и колико се та брзина мења у било ком тренутку. Ово је једна од најједноставнијих употреба анализе, али врло важна. Замислите колико су такве информације важне за одређивање брзине која је потребна да се свемирски брод доведе до месеца!
   • Утврђивање промене у одређеном временском тренутку има разликовати. Диференцијација је прва од две главне гране анализе.
2. Користите деривате да бисте разумели како се ствари мењају у датом тренутку. „Дериват“ је лепа реч за нешто што ученике често нервира. Међутим, сам концепт није толико тешко разумети - он само значи „колико брзо се нешто мења“. Деривати с којима ћете се највише сусретати у свакодневном животу имају везе са брзином. Међутим, обично то не зовете „извод брзине“, већ једноставно „убрзање“.
   • Убрзање је изведеница - говори вам колико брзо се нешто убрзава или успорава или како се његова брзина мења.
3. Знајте да је брзина промене једнака нагибу између две тачке. Ово је једно од најважнијих открића анализе. Стопа промене између две тачке једнака је нагибу линије између те две тачке. Замислите само једноставну линију, попут оне једначине ${ дисплаистиле и = 3к.}$Знајте да можете одредити нагиб закривљених линија. Одређивање нагиба праве линије је релативно лако: колико се мења ${ дисплаистиле и}$Ако желите тачније да израчунате промену, уверите се да су тачке ближе једна другој. Што ближе одаберете две тачке, то је ваш одговор тачнији. Претпоставимо да желите да знате колико ваш аутомобил убрзава када притиснете папучицу гаса. Не желите да мерите промену брзине између куће и супермаркета, већ промену брзине од тренутка када притиснете папучицу гаса. Што се ваше читање приближи том делићу секунде, точнији је ваш израчун промене.
   • На пример, научници истражују колико брзо неке врсте изумиру како би их спасиле. Међутим, више животиња умире зими него лети, тако да није корисно проучавати стопу промена током целе године - боље је утврдити стопу промена у мањем периоду, на пример од 1. јула до 1. августа.
4. Користите бесконачно кратке линије да бисте одредили „тренутну брзину промене“ или пронашли дериват. Ту анализа често постаје помало збуњујућа, али ово је заправо резултат две једноставне чињенице. Пре свега, знате да је нагиб линије једнак брзини промене те линије. Друго, знате да што су тачке линије ближе једна другој, читање ће постати тачније. Али како пронаћи брзину промене у датој тачки ако је нагиб однос између две тачке? Одговор: Бирате две тачке које су бескрајно близу једна другој.
   • Размотрите пример где настављате да делите 1 са 2, добијајући тако 1/2, 1/4, 1/8 итд. Дакле, на крају се приближите нули, а одговор је „готово нула“. Тачке су толико близу једна другој да су „скоро једнаке једна другој“. Ово је природа деривата.
5. Научите како да одредите разне деривате. Постоји мноштво различитих техника за проналажење деривата у зависности од једначине, али већина њих има смисла ако сте горе научили основе деривата. Сви деривати су начин проналажења нагиба „бесконачно мале“ линије. Сада када знате више о теорији деривата, велики део посла је у проналажењу одговора.
6. Пронађите изведене једначине да бисте предвидели брзину промене у било ком тренутку. Корисно је користити деривате за одређивање брзине промене у било ком тренутку, али лепота анализе је у томе што можете створити нови модел за било коју функцију. Дериват од ${ дисплаистиле и = к ^ {2},}$Ако вам је ово тешко разумети, покушајте да се сетите примера деривата из стварног живота. Најједноставнији пример заснован је на брзини, која обухвата мноштво различитих деривата са којима се свакодневно сусрећемо. Не заборавите: дериват је мера колико се брзо нешто мења. Замислите једноставан експеримент. Ваљате мрамор по столу и сваки пут мерите докле се креће и колико брзо. Сада замислите да ваљани мермер прати линију на графикону - користите деривате за мерење тренутних промена у било ком тренутку на тој линији.
   • Колико се брзо креће мермер? Којом брзином се мења положај (или дериват) покретног мермера? Ову изведеницу називамо „брзина“.
   • Котрљајте мермер дуж падине и посматрајте како се брзина мења. Која је брзина промене или изведенице брзине мермера? Овај дериват називамо „убрзање“.
   • Ваљајте мермер дуж валовите стазе, као што је тобоган. У којој мери мермер добија брзину када се котрља, а у којој мери мермер успорава узбрдо? Колико брзо иде мермер тачно када је на пола пута до првог брда? Ово је тренутна брзина промене или дериват тог мермера у тој одређеној тачки.

3. део од 3: Разумевање интеграла

1. Знајте да анализом можете да пронађете сложена подручја и запремине. Анализом можете измерити сложене облике које је иначе тешко измерити. Размотрите, на пример, проблем који желите да знате колико воде садржи дуго језеро неправилног облика - немогуће је измерити сваки литар воде посебно или користити лењир за мерење облика језера. Анализом можете проучити како се мењају ивице језера, а затим помоћу тих података сазнати колико воде садржи.
   • Израда геометријских модела и проучавање запремина интегришу. Интегрисани рачун је друга важна грана анализе.
2. Знајте да је интеграција област испод графикона. Интеграција се користи за мерење простора испод линије, што вам омогућава да одредите површину чудних или неправилних облика. Узми једначину ${ дисплаистиле и = 4-к ^ {2},}$Знајте да морате одабрати подручје за интегрисање. Не можете једноставно интегрисати целу функцију. На пример, ${ дисплаистиле и = к}$Размислите о томе како израчунати површину правоугаоника. Претпоставимо да имате равну линију изнад графикона, као што је ${ дисплаистиле и = 4.}$Знајте да се у интегралном рачуну мноштво малих правоугаоника сабира да би се пронашла површина неке површине. Када енормно увећате криву, чини се да је права линија. То видите сваки дан - не можете да опазите закривљеност земље јер сте тако близу земљине површине. Интеграција ствара бескрајан број малих правоугаоника испод криве који су толико мали да су у основи равни, што вам омогућава да их избројите. Сви ови правоугаоници сабрани чине површину подручја под кривином.
   • Претпоставимо да додате пуно малих сегмената испод графикона, а то је ширина сваког сегмента скоро је нула.
3. Знати како правилно читати и записивати интеграле. Интеграли се састоје од 4 дела. Типични интеграл изгледа овако:
   
   ${ дисплаистиле инт ф (к) матхрм {д} к}$ Сазнајте више о проналажењу интеграла. Интеграција се може појавити у многим облицима и морате научити пуно различитих формула да бисте интегрисали сваку функцију. Међутим, сви се придржавају горе наведених принципа: интеграција је збир бесконачног броја ствари.
   • Интегришите супституцијом.
   • Израчунај неодређене интеграле.
   • Интегришите дељењем.
4. Знајте да је интеграција обрнута од диференцијације и обрнуто. Ово је правило анализе које је толико важно да је добило своје име: Главна теорема интегралног израчунавања.Будући да су интеграција и диференцијација тако уско повезани, комбинација ове две методе може се користити за одређивање брзине промене, убрзања, брзине, локације, кретања итд., Без обзира на то којом информацијом располажете.
   • На пример, запамтите да је извод брзине убрзање, тако да помоћу брзине можете пронаћи убрзање. Али ако знате само убрзање нечега (попут предмета који падају услед гравитације), онда можете интегрисати да бисте повратили брзину!
5. Знајте да интеграцијом можете да контролишете и јачину звука 3Д објеката. Ротирање равног облика један је од начина за стварање 3Д чврстих тела. Замислите новчић који се врти на столу - приметите како новчић поприма облик кугле док се окреће. Овај концепт вам омогућава да одредите запремину у складу са поступком познатим као „запремина ротацијом“.
   • То вам омогућава да одредите запремину било које чврсте супстанце, све док имате функцију која је представља. На пример, можете да креирате функцију која прати дно језера, а затим помоћу ње одредите запремину језера или колико воде садржи.

Савети

• Пракса је савршена, па тако и вежбе вежбања у вашем уџбенику - чак и оне које ваш учитељ није дао - и проверите своје одговоре како бисте боље разумели концепте.
• Ако не можете да пронађете решење, питајте свог наставника.