Садржај

• Кораци
• Савјети

Рационална функција има облик и = Н (к) / Д (к), где су Н и Д полиноми. Да бисте тачно исцртали такву функцију, потребно вам је добро познавање алгебре, укључујући диференцијалне прорачуне. Размотрите следећи пример: и = (2Икс - 6Икс + 5)/(4Икс + 2).

Кораци

1. 1 Пронађите и-пресјек графикона. Да бисте то урадили, замените к = 0 у функцију и добијте и = 5/2. Дакле, тачка пресека графикона са осом И има координате (0, 5/2).Поставите ову тачку на координатну раван.
2. 2 Пронађите хоризонталне асимптоте. Поделите бројник називником (у колони) да бисте утврдили понашање "и" са вредностима "к" које теже ка бесконачности. У нашем примеру подела ће бити и = (1/2)Икс - (7/4) + 17/(8Икс + 4). За велике позитивне или негативне вредности "к" 17 / (8Икс + 4) тежи нули, а график се приближава правој линији датој функцијом и = (1/2)Икс - (7/4). Помоћу испрекидане линије исцртајте ову функцију.
   • Ако је степен бројника мањи од степена називника, онда не можете поделити бројник на називник и асимптота ће бити описана функцијом ат = 0.
   • Ако је степен бројника једнак степену називника, онда је асимптота хоризонтална линија једнака односу коефицијената на "к" у највишем степену.
   • Ако је степен бројника за 1 већи од степена називника, онда је асимптота нагнута права линија, чији је нагиб једнак односу коефицијената на „к“ до највишег степена.
   • Ако је степен бројника већи од степена називника за 2, 3 итд., Онда за велике вредности |НС| значење ат теже ка бесконачности (позитивном или негативном) у облику квадрата, кубика или другог степена полинома. У овом случају, највероватније, не морате да градите тачан графикон функције добијене дељењем бројилаца на називник.
3. 3 Нађи нуле функције. Рационална функција има нуле када је њен бројник нула, односно Н (НС) = 0. У нашем примеру 2Икс - 6Икс + 5 = 0. Дискриминатор ове квадратне једначине: б - 4ац = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Пошто је дискриминатор негативан, тада је Н (НС), па стога Ф (НС) нема праве корене. Графикон рационалне функције не пресеца осу Кс. Ако функција има нуле (корене), онда их ставите на координатну раван.
4. 4 Пронађите вертикалне асимптоте. Да бисте то урадили, поставите називник на нулу. У нашем примеру, 4Икс + 2 = 0 и НС = -1/2. Исцртајте вертикалну асимптоту помоћу испрекидане линије. Ако за неку вредност НС Н (НС) = 0 и Д (НС) = 0, тада вертикална асимптота или постоји или не постоји (ово је редак случај, али је боље да га запамтите).
5. 5 Погледајте остатак бројиоца подељен са имениоцем. Да ли је позитивно, негативно или нула? У нашем примеру, остатак је 17, што је позитивно. Именилац 4Икс + 2 позитивна десно од вертикалне асимптоте и негативна лево од ње. То значи да је графикон рационалне функције за велике позитивне вредности НС прилази асимптоти одозго, а за велике негативне вредности НС - одоздо. Од 17. / (8Икс + 4) никада није једнака нули, тада графикон ове функције никада неће пресецати праву линију одређену функцијом ат = (1/2)НС - (7/4).
6. 6 Пронађите локалне екстреме. Локални екстрем постоји за Н '(Икс) Д (Икс) - Н (Икс) Д ’(Икс) = 0. У нашем примеру, Н ’(Икс) = 4Икс - 6 и Д '(Икс) = 4. Н ’(Икс) Д (Икс) - Н (Икс) Д ’(Икс) = (4Икс - 6)(4Икс + 2) - (2Икс - 6Икс + 5)*4 = Икс + Икс - 4 = 0. Решавајући ову једначину, налазићете то Икс = 3/2 и Икс = -5/2. (Ово нису сасвим тачне вредности, али су погодне за наш случај када није потребна суперпрецизност.)
7. 7 Пронађите вредност ат за сваки локални екстрем. Да бисте то урадили, замените вредности НС у првобитну рационалну функцију. У нашем примеру, ф (3/2) = 1/16 и ф (-5/2) = -65/16. Одложите тачке (3/2, 1/16) и (-5/2, -65/16) на координатној равни. Будући да су прорачуни засновани на приближним вредностима (из претходног корака), пронађени минимум и максимум такође нису сасвим тачни (али вероватно врло близу тачним вредностима). (Тачка (3/2, 1/16) је врло близу локалног минимума. Полазећи од корака 3, знамо да ат увек позитиван за НС> -1/2, и нашли смо малу вредност (1/16); стога је вредност грешке у овом случају изузетно мала.)
8. 8 Повежите тачке на чекању и глатко проширите графикон на асимптоте (не заборавите на правилан смер графа који се приближава асимптотама). Запамтите да графикон не сме да прелази Кс-осу (погледајте корак 3). Графикон се такође не пресеца са хоризонталном и вертикалном асимптотом (види корак 5). Не мењајте смер графикона осим на крајњим тачкама које сте пронашли у претходном кораку.

Савјети

• Ако сте горе наведене кораке строго слиједили, нема потребе за израчунавањем других деривата (или сличних сложених величина) да бисте тестирали своје рјешење.
• Ако не морате да рачунате вредности количина, проналажење локалних екстрема можете заменити израчунавањем додатних парова координата (НС, ат) између сваког пара асимптота. Штавише, ако вас није брига како описана метода функционише, немојте се изненадити зашто не можете пронаћи дериват и решити једначину Н '(Икс) Д (Икс) - Н (Икс) Д ’(Икс) = 0.
• У неким случајевима мораћете да радите са полиномима вишег реда. Ако не можете пронаћи тачно решење помоћу факторисања, формула итд., Тада процените могућа решења помоћу нумеричких метода као што је Невтонова метода.
• У ретким случајевима, бројник и називник деле заједнички променљиви фактор. Према описаним корацима, ово ће довести до нуле и вертикалне асимптоте на истом месту. Међутим, то није могуће, а објашњење је једно од следећих:
  • Нула у Н (НС) има већу множину од нуле у Д (НС). Графикон Ф (НС) у овом тренутку тежи нули, али тамо није дефинисан. Означите ово повлачењем круга око тачке.
  • Нула у Н (НС) и нула у Д (НС) имају исту многострукост. Графикон се при овој вредности приближава не-нултој тачки НСали у њему није дефинисано. Означите ово повлачењем круга око тачке.
  • Нула у Н (НС) има мању множину од нуле у Д (НС). Овде постоји вертикална асимптота.