Садржај

• Кораци
• Метода 1 од 3: Како пронаћи непознату страну
• Метода 2 од 3: Проналажење непознатог угла
• Метода 3 од 3: Примери проблема
• Савјети

Теорема косинуса се широко користи у тригонометрији. Користи се при раду са неправилним троугловима за проналажење непознатих величина као што су странице и углови. Теорема је слична Питагориној теореми и лако ју је запамтити. Косинусна теорема каже да у сваком троуглу ${ дисплаистиле ц ^ {2} = а ^ {2} + б ^ {2} -2аб цос {Ц}}$.

Кораци

Метода 1 од 3: Како пронаћи непознату страну

1. 1 Запишите познате вредности. Да бисте пронашли непознату страницу троугла, морате знати друге две странице и угао између њих.
   • На пример, дат је троугао КСИЗ. ИКС страница је 5 цм, ИЗ страница је 9 цм, а И угао је 89 °. Шта је КСЗ страна?
2. 2 Запишите формулу косинусне теореме. Формула: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = а ^ {2} + б ^ {2} -2аб цос {Ц}}$, где ${ дисплаистиле ц}$ - непозната странка, ${ дисплаистиле цос {Ц}}$ - косинус угла супротног од непознате стране, ${ дисплаистиле а}$ и ${ дисплаистиле б}$ - две добро познате стране.
3. 3 Укључите познате вредности у формулу. Променљиве ${ дисплаистиле а}$ и ${ дисплаистиле б}$ означавају две познате стране. Променљива ${ дисплаистиле Ц}$ је познати угао који лежи између страница ${ дисплаистиле а}$ и ${ дисплаистиле б}$.
   • У нашем примеру КСЗ страна је непозната, па се у формули означава као ${ дисплаистиле ц}$... Пошто су странице ИКС и ИЗ познате, оне се означавају променљивим ${ дисплаистиле а}$ и ${ дисплаистиле б}$... Променљива ${ дисплаистиле Ц}$ је угао И. Дакле, формула ће бити записана на следећи начин: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) цос {89}}$.
4. 4 Нађи косинус познатог угла. Учините то помоћу калкулатора. Унесите вредност угла, а затим кликните ${ дисплаистиле ЦОС}$... Ако немате научни калкулатор, пронађите онлајн табелу косинуса, на пример, овде. Такође у Иандек -у можете унети „косинус од Кс степени“ (замените вредност угла за Кс), а претраживач ће приказати косинус угла.
   • На пример, косинус је 89 ° ≈ 0,01745. Тако: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Помножите бројеве. Мултипли ${ дисплаистиле 2аб}$ косинусом познатог угла.
   • На пример:
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Пресавијте квадрате познатих страница. Запамтите, да бисте квадрат добили број, он се мора сам помножити. Прво уоквирите одговарајуће бројеве, а затим додајте резултујуће вредности.
   • На пример:
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Одузмите два броја. Наћи ћете ${ дисплаистиле ц ^ {2}}$.
   • На пример:
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Узмите квадратни корен ове вредности. Да бисте то урадили, користите калкулатор. Овако ћете пронаћи непознату страну.
   • На пример:
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 104.4293}$
     ${ дисплаистиле { скрт {ц ^ {2}}} = { скрт {104.4293}}}$
     ${ дисплаистиле ц = 10.2191}$
     Дакле, непозната страна је 10.2191 цм.

Метода 2 од 3: Проналажење непознатог угла

1. 1 Запишите познате вредности. Да бисте пронашли непознати угао троугла, морате знати све три странице троугла.
   • На пример, дат је троугао РСТ. Страна ЦП = 8 цм, СТ = 10 цм, ПТ = 12 цм. Пронађите вредност угла С.
2. 2 Запишите формулу косинусне теореме. Формула: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = а ^ {2} + б ^ {2} -2аб цос {Ц}}$, где ${ дисплаистиле цос {Ц}}$ - косинус непознатог угла, ${ дисплаистиле ц}$ - позната страна насупрот непознатог угла, ${ дисплаистиле а}$ и ${ дисплаистиле б}$ - још две познате забаве.
3. 3 Пронађите вредности а{ дисплаистиле а}, б{ дисплаистиле б} и ц{ дисплаистиле ц}. Затим их укључите у формулу.
   • На пример, РТ страна је супротна непознатом углу С, па је РТ страница ${ дисплаистиле ц}$ у формули. Остале странке ће ${ дисплаистиле а}$ и ${ дисплаистиле б}$... Дакле, формула ће бити записана на следећи начин: ${ дисплаистиле 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) цос {Ц}}$.
4. 4 Помножите бројеве. Мултипли ${ дисплаистиле 2аб}$ косинусом непознатог угла.
   • На пример, ${ дисплаистиле 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 цос {Ц}}$.
5. 5 Усправан ц{ дисплаистиле ц} на квадрат. То јест, помножите сам број.
   • На пример, ${ дисплаистиле 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 цос {Ц}}$
6. 6 Пресавијте квадрате а{ дисплаистиле а} и б{ дисплаистиле б}. Али прво, уоквирите одговарајуће бројеве.
   • На пример:
     ${ дисплаистиле 144 = 64 + 100-160 цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле 144 = 164-160 цос {Ц}}$
7. 7 Изолирајте косинус непознатог угла. Да бисте то урадили, одузмите износ ${ дисплаистиле а ^ {2}}$ и ${ дисплаистиле б ^ {2}}$ са обе стране једначине. Затим сваку страну једначине поделите са фактором на косинус непознатог угла.
   • На пример, да бисте изоловали косинус непознатог угла, одузмите 164 са обе стране једначине, а затим сваку страну поделите са -160:
     ${ дисплаистиле 144-164 = 164-164-160 цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле -20 = -160 цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле { фрац {-20} {- 160}} = { фрац {-160 цос {Ц}} {- 160}}}$
     ${ дисплаистиле 0.125 = цос {Ц}}$
8. 8 Израчунајте инверзни косинус. Ово ће пронаћи вредност непознатог угла. На калкулатору је означена инверзна косинусна функција ${ дисплаистиле ЦОС ^ {- 1}}$.
   • На пример, аркозин од 0,0125 је 82.8192. Дакле, угао С је 82.8192 °.

Метода 3 од 3: Примери проблема

1. 1 Пронађи непознату страницу троугла. Познате странице су 20 цм и 17 цм, а угао између њих је 68 °.
   • Пошто су вам дате две странице и угао између њих, можете користити косинусну теорему. Запишите формулу: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = а ^ {2} + б ^ {2} -2аб цос {Ц}}$.
   • Непозната страна је ${ дисплаистиле ц}$... Укључите познате вредности у формулу: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) цос {68}}$.
   • Израчунај ${ дисплаистиле ц ^ {2}}$, поштујући редослед математичких операција:
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) цос {68}}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 434.2675}$
   • Узмите квадратни корен обе стране једначине. Овако ћете пронаћи непознату страну:
     ${ дисплаистиле { скрт {ц ^ {2}}} = { скрт {434.2675}}}$
     ${ дисплаистиле ц = 20.8391}$
     Дакле, непозната страна је 20.8391 цм.
2. 2 Нађи угао Х у троуглу ГХИ. Две странице суседне углу Х су 22 и 16 цм, а страница супротна углу Х је 13 цм.
   • Пошто су дате све три стране, може се користити косинусна теорема. Запишите формулу: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = а ^ {2} + б ^ {2} -2аб цос {Ц}}$.
   • Страна супротна непознатом углу је ${ дисплаистиле ц}$... Укључите познате вредности у формулу: ${ дисплаистиле 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) цос {Ц}}$.
   • Поједноставите резултујући израз:
     ${ дисплаистиле 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле 169 = 484 + 256 - 704 цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле 169 = 740-704 цос {Ц}}$
   • Изолујте косинус:
     ${ дисплаистиле 169-740 = 740-740-704 цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле -571 = -704 цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле { фрац {-571} {- 704}} = { фрац {-704 цос {Ц}} {- 704}}}$
     ${ дисплаистиле 0.8111 = цос {Ц}}$
   • Пронађи инверзни косинус. Овако израчунавате непознати угао:
     ${ дисплаистиле 0.8111 = цос {Ц}}$
     ${ дисплаистиле 35.7985 = ЦОС ^ {- 1}}$.
     Дакле, угао Х је 35,7985 °.
3. 3 Нађи дужину стазе. Речне, брдске и мочварне стазе чине троугао. Дужина речне стазе је 3 км, дужина брдске стазе је 5 км; ове стазе се међусобно укрштају под углом од 135 °. Мочварна стаза повезује два краја осталих стаза. Пронађите дужину мочварне стазе.
   • Стазе чине троугао. Морате пронаћи дужину непознате путање, која је страница троугла. Пошто су дате дужине друге две путање и угао између њих, може се користити косинусна теорема.
   • Запишите формулу: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = а ^ {2} + б ^ {2} -2аб цос {Ц}}$.
   • Непозната путања (Мочвара) биће означена као ${ дисплаистиле ц}$... Укључите познате вредности у формулу: ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) цос {135}}$.
   • Израчунај ${ дисплаистиле ц ^ {2}}$:
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) цос {135}}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0,7071)}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ дисплаистиле ц ^ {2} = 55.2132}$
   • Узмите квадратни корен обе стране једначине. Овако ћете пронаћи дужину непознате путање:
     ${ дисплаистиле { скрт {ц ^ {2}}} = { скрт {55.2132}}}$
     ${ дисплаистиле ц = 7.4306}$
     Дакле, дужина Мочварне стазе је 7.4306 км.

Савјети

• Лакше је користити синусну теорему. Стога прво сазнајте да ли се то може применити на дати проблем.