Садржај

• На корак
• 1. део од 4: Састављање матрице
• 2. део од 4: Учење операција за решавање система са матрицом
• Део 3 од 4: Споји кораке за решавање галаксије
• Део 4 од 4: Провера решења
• Савети

Матрица је врло користан начин представљања бројева у блоковском формату, који затим можете користити за решавање система линеарних једначина. Ако имате само две променљиве, вероватно ћете користити другу методу. О овоме прочитајте у Решавање система једначина за примере ових других метода. Али ако имате три или више променљивих, низ је идеалан. Користећи поновљене комбинације множења и сабирања, можете систематски доћи до решења.

На корак

1. део од 4: Састављање матрице

1. Проверите да ли имате довољно података. Да бисте добили јединствено решење за сваку променљиву у линеарном систему помоћу матрице, треба да имате онолико једначина колико број променљивих које покушавате да решите. На пример: са променљивим к, и и з су вам потребне три једначине. Ако имате четири променљиве, требате четири једначине.
   • Ако имате мање једначина од броја променљивих, открићете неке границе променљивих (као што су к = 3и и и = 2з), али не можете добити прецизно решење. За овај чланак ћемо радити само на јединственом решењу.
2. Напишите своје једначине у стандардном облику. Пре него што податке из једначина ставите у матрични облик, прво сваку једначину напишете у стандардном облику. Стандардни облик линеарне једначине је Ак + Би + Цз = Д, где су велика слова коефицијенти (бројеви), а последњи број (Д у овом примеру) је десно од знака једнакости.
   • Ако имате више променљивих, само наставите линију онолико дуго колико вам је потребно. На пример, ако покушавате да решите систем са шест променљивих, ваш подразумевани облик би изгледао као Ау + Бв + Цв + Дк + Еи + Фз = Г. У овом чланку ћемо се фокусирати на системе са само три променљиве. Решавање веће галаксије је потпуно исто, али само треба више времена и више корака.
   • Имајте на уму да је у стандардном облику операције између појмова увек додатак. Ако у вашој једначини постоји одузимање, уместо сабирања, са тим ћете морати касније да радите тако што ћете свој коефицијент учинити негативним. Да бисте ово лакше запамтили, можете преписати једначину и додати операцију и учинити коефицијент негативним. На пример, једначину 3к-2и + 4з = 1 можете преписати као 3к + (- 2и) + 4з = 1.
3. Бројеве из система једначина сместите у матрицу. Матрица је група бројева, распоређених у неку врсту табеле, помоћу којих ћемо радити на решавању система. У основи садржи исте податке као и саме једначине, али у једноставнијем формату. Да бисте матрицу својих једначина направили у стандардном облику, само копирајте коефицијенте и резултат сваке једначине у један ред и те редове сложите један на други.
   • Претпоставимо да имате систем који се састоји од три једначине 3к + и-з = 9, 2к-2и + з = -3 и к + и + з = 7. Горњи ред ваше матрице садржаће бројеве 3, 1, -1, 9, јер су то коефицијенти и решење прве једначине. Имајте на уму да се претпоставља да свака променљива која нема коефицијент има коефицијент 1. Други ред матрице постаје 2, -2, 1, -3, а трећи ред постаје 1, 1, 1, 7.
   • Обавезно поравнајте к коефицијенте у првој колони, и коефицијенте у другој, з коефицијенте у трећој и појмове решења у четвртој. Када завршите са радом са матрицом, ови ступци ће бити важни приликом писања вашег решења.
4. Нацртајте велику квадратну заграду око читаве ваше матрице. Према договору, матрица је означена паром угластих заграда, [], око читавог блока бројева. Заграде ни на који начин не утичу на решење, али указују на то да радите са матрицама. Матрица се може састојати од било ког броја редова и колона. У овом чланку ћемо користити заграде око појмова у низу да означимо да припадају заједно.
5. Употреба уобичајене симболике. Када се ради са матрицама, уобичајено је позивање на редове са скраћеницом Р и ступце са скраћеницом Ц. Бројеве заједно са овим словима можете користити за означавање одређеног реда или колоне. На пример, да бисте означили ред 1 матрице, можете написати Р1. Ред 2 тада постаје Р2.
   • Можете назначити било који одређени положај у матрици помоћу комбинације Р и Ц. На пример, да бисте означили појам у другом реду, трећој колони, могли бисте га назвати Р2Ц3.

2. део од 4: Учење операција за решавање система са матрицом

1. Разумети облик матрице решења. Пре него што започнете решавање вашег система једначина, морате да разумете шта ћете радити са матрицом. У овом тренутку имате матрицу која изгледа овако:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Радите са низом основних операција да бисте креирали „матрицу решења“. Матрица решења ће изгледати овако:
   • 1 0 0 к
   • 0 1 0 год
   • 0 0 1 з
   • Имајте на уму да се матрица састоји од 1 у дијагоналној линији са 0 у свим осталим размацима, осим у четвртој колони. Бројеви у четвртој колони решење су за променљиве к, и и з.
2. Користите скаларно множење. Први алат који вам стоји на располагању за решавање система помоћу матрице је скаларно множење. Ово је једноставно термин који значи да множите елементе у реду матрице са константним бројем (а не променљивом). Када користите скаларно множење, имајте на уму да сваки члан целог реда морате помножити са било којим бројем који изаберете. Ако заборавите први појам и само помножите, добићете погрешно решење. Међутим, не морате истовремено множити целу матрицу. У скаларном множењу истовремено радите само на једном реду.
   • Уобичајено је користити разломке у скаларном множењу јер често желите да добијете дијагонални ред од 1. Навикните се на рад са разломцима. Такође ће бити лакше (за већину корака у решавању матрице) бити у могућности да своје фракције напишете у неправилном облику, а затим их претворите у мешане бројеве за коначно решење. Стога је са бројем 1 2/3 лакше радити ако га напишете као 5/3.
   • На пример, први ред (Р1) нашег примера проблема почиње с појмовима [3,1, -1,9]. Матрица решења мора да садржи 1 на првом месту првог реда. Да бисмо „променили“ 3 у 1, можемо цео ред помножити са 1/3. Ово ствара нови Р1 од [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Обавезно оставите негативне знакове тамо где им је место.
3. Користите додавање редова или одузимање редова. Други алат који можете користити је додавање или одузимање два реда матрице. Да бисте креирали 0 појмова у матрици решења, морате да додате или одузмете бројеве да бисте дошли до 0. На пример, ако је Р1 матрице [1,4,3,2], а Р2 [1,3,5,8], онда можете одузети први ред од другог реда и створити нови ред [0, -1, 2.6], јер је 1-1 = 0 (прва колона), 3-4 = -1 (друга колона), 5-3 = 2 (трећа колона) и 8-2 = 6 (четврта колона). Када изводите сабирање или одузимање реда, препишите нови резултат уместо реда са којим сте започели. У овом случају извукли бисмо ред 2 и убацили нови ред [0, -1,2,6].
   • Можете користити скраћени запис и ову декларацију прогласити као Р2-Р1 = [0, -1,2,6].
   • Запамтите да су сабирање и одузимање управо супротни облици исте операције. Замислите то као сабирање два броја или одузимање супротног. На пример, ако започнете са једноставном једначином 3-3 = 0, можете то схватити као сабирни проблем 3 + (- 3) = 0. Резултат је исти. Ово изгледа једноставно, али понекад је лакше проблем размотрити у једном или другом облику. Само припазите на своје негативне знакове.
4. Комбинујте сабирање редова и множење скалара у једном кораку. Не можете очекивати да се услови увек подударају, тако да можете користити једноставно сабирање или одузимање да бисте креирали 0 у својој матрици. Чешће ћете морати додати (или одузети) вишекратник из другог реда. Да бисте то урадили, прво направите скаларно множење, а затим додајте тај резултат у циљни ред који покушавате да промените.
   • Претпоставимо; да постоји ред 1 од [1,1,2,6] и ред 2 од [2,3,1,1]. Желите 0 појам у првој колони Р2. Односно, желите да промените 2 у 0. Да бисте то урадили, морате одузети 2. Два можете добити тако што ћете прво помножити ред 1 скаларним множењем 2, а затим одузети први ред од другог реда. У кратком облику ово се може записати као Р2-2 * Р1. Прво помножите Р1 са 2 да бисте добили [2,2,4,12]. Затим ово одузмите од Р2 да бисте добили [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Поједноставите ово и ваш нови Р2 ће бити [0,1, -3, -11].
5. Копирајте редове који остају непромењени током рада. Док радите на матрици, мењаћете по један ред одједном, скаларним множењем, додавањем редова или одузимањем редова или комбинацијом корака. Када промените један ред, обавезно копирајте остале редове матрице у изворном облику.
   • Уобичајена грешка се јавља приликом извођења комбинованог корака множења и сабирања у једном потезу. На пример, рецимо да треба два пута одузети Р1 од Р2. Када помножите Р1 са 2 да бисте извели овај корак, имајте на уму да се Р1 не мења у матрици. Множење радите само да бисте променили Р2. Прво копирајте Р1 у оригиналном облику, а затим извршите промену у Р2.
6. Прво радите од врха до дна. Да бисте решили систем, радите у врло организованом обрасцу, у основи „решавајући“ један по један термин матрице. Секвенца за низ са три променљиве ће изгледати овако:
   • 1. Направите 1 у првом реду, прва колона (Р1Ц1).
   • 2. Направите 0 у другом реду, прва колона (Р2Ц1).
   • 3. Направите 1 у другом реду, друга колона (Р2Ц2).
   • 4. Направите 0 у трећем реду, прва колона (Р3Ц1).
   • 5. Направите 0 у трећем реду, друга колона (Р3Ц2).
   • 6. Направите 1 у трећем реду, трећа колона (Р3Ц3).
7. Вратите се одоздо према горе. У овом тренутку, ако сте правилно урадили кораке, на пола сте решења. Морате имати дијагоналну линију 1, а 0 испод. Бројеви у четвртој колони у овом тренутку нису битни. Сада се вратите на врх на следећи начин:
   • Направите 0 у другом реду, трећој колони (Р2Ц3).
   • Направите 0 у првом реду, трећој колони (Р1Ц3).
   • Направите 0 у првом реду, другој колони (Р1Ц2).
8. Проверите да ли сте креирали матрицу решења. Ако је ваш рад тачан, креирали сте матрицу решења са 1 у дијагоналној линији Р1Ц1, Р2Ц2, Р3Ц3 и 0 на осталим позицијама прве три колоне. Бројеви у четвртој колони су решења за ваш линеарни систем.

Део 3 од 4: Споји кораке за решавање галаксије

1. Почните са примером система линеарних једначина. Да бисмо увежбали ове кораке, кренимо са системом који смо раније користили: 3к + и-з = 9, 2к-2и + з = -3 и к + и + з = 7. Ако ово запишете у матрицу, имате Р1 = [3,1, -1,9], Р2 = [2, -2,1, -3] и Р3 = [1,1,1,7].
2. Направите 1 на првом месту Р1Ц1. Имајте на уму да Р1 у овом тренутку почиње са 3. Морате га променити у 1. То можете учинити скаларним множењем, помноживши сва четири члана Р1 са 1/3. Укратко можете писати као Р1 * 1/3. Ово даје нови резултат за Р1 ако је Р1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Копирајте Р2 и Р2, непромењени, када је Р2 = [2, -2,1, -3] и Р3 = [1,1,1,7].
   • Имајте на уму да су множење и дељење само међусобно обрнуте функције. Можемо рећи да множимо са 1/3 или делимо са 3, без промене резултата.
3. Направите 0 у другом реду, првој колони (Р2Ц1). У овом тренутку, Р2 = [2, -2,1, -3]. Да бисте се приближили матрици решења, потребно је да први члан промените са 2 на 0. То можете учинити одузимањем двоструке вредности Р1, јер Р1 започиње са 1. Укратко, операција Р2-2 * Р1. Запамтите, не мењате Р1, само радите са њим. Дакле, прво копирајте Р1 ако је Р1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Онда ако удвостручите сваки члан од Р1, добићете 2 * Р1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. На крају, одузмите овај резултат од оригиналног Р2 да бисте добили свој нови Р2. Радно од појма, ово одузимање постаје (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Поједностављујемо их на нови Р2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Имајте на уму да је први израз 0 (без обзира на ваш циљ).
   • Ред 3 (који се није променио) напишите као Р3 = [1,1,1,7].
   • Будите пажљиви при одузимању негативних бројева како бисте били сигурни да знакови остају тачни.
   • Сада прво оставимо разломке у њиховом неправилном облику. Ово олакшава касније кораке решења. Разломке можете поједноставити у последњем кораку задатка.
4. Направите 1 у другом реду, друга колона (Р2Ц2). Да бисте наставили формирати дијагоналну линију 1, морате претворити други члан -8/3 у 1. Урадите то множењем целог реда са реципрочном вредности тог броја (-3/8). Симболично, овај корак је Р2 * (- 3/8). Добијени други ред је Р2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Имајте на уму да ако лева половина реда почне да подсећа на решење са 0 и 1, десна половина може почети да изгледа ружно, са неправилним разломцима. Само их оставите онаквима какви јесу.
   • Не заборавите да наставите са копирањем нетакнутих редова, па је Р1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и Р3 = [1,1,1,7].
5. Направите 0 у трећем реду, прва колона (Р3Ц1). Ваш фокус се сада помера у трећи ред, Р3 = [1,1,1,7]. Да бисте направили 0 на првој позицији, морате одузети 1 од 1 тренутно на тој позицији. Ако погледате горе, на првом месту Р1 налази се 1. Дакле, само треба да одузмете Р1 од Р3 да бисте добили жељени резултат. Радни термин за мандат, ово постаје (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Ова четири мини-проблема могу се затим поједноставити до новог Р3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Наставите да копирате дуж Р1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и Р2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8]. Запамтите да истовремено мењате само један ред.
6. Направите 0 у трећем реду, друга колона (Р3Ц2). Ова вредност је тренутно 2/3, али мора бити претворена у 0. На први поглед изгледа да можете да одузмете вредности Р1 двоструко, јер одговарајући ступац Р1 садржи 1/3. Међутим, ако удвостручите и одузмете све вредности Р1, мења се 0 у првој колони Р3, што не желите. Ово би био корак уназад у вашем решењу. Дакле, морате радити са неком комбинацијом Р2. Одузимање 2/3 од Р2 ствара 0 у другој колони, без промене прве колоне. У кратком облику ово је Р3-2 / 3 * Р2. Појединачни изрази постају (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Поједностављење тада даје Р3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Направите 1 у трећем реду, трећа колона (Р3Ц3). Ово је једноставно множење реципрочним бројем броја који пише. Тренутна вредност је 42/24, тако да можете помножити са 24/42 да бисте добили вредност коју желите 1. Имајте на уму да су прва два члана 0, тако да свако множење остаје 0. Нова вредност Р3 = [0,0,1,1].
   • Имајте на уму да разломци који су у претходном кораку изгледали прилично компликовано већ почињу да се решавају.
   • Наставите са Р1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и Р2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Имајте на уму да у овом тренутку имате дијагоналу 1 за вашу матрицу решења. Требате само претворити три елемента матрице у 0 да бисте пронашли своје решење.
8. Направите 0 у другом реду, трећој колони. Р2 је тренутно [0,1, -5 / 8,27 / 8], са вредношћу -5/8 у трећој колони. Морате га трансформисати у 0. То значи да морате извршити неку операцију са Р3 која се састоји од сабирања 5/8. Пошто је одговарајућа трећа колона Р3 1, морате помножити све вредности Р3 са 5/8 и додати резултат Р2. Укратко, ово је Р2 + 5/8 * Р3. Термин за појам је Р2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Ово се може поједноставити на Р2 = [0,1,0,4].
   • Затим копирајте Р1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и Р3 = [0,0,1,1].
9. Направите 0 у првом реду, трећој колони (Р1Ц3). Први ред је тренутно Р1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Морате претворити -1/3 у трећој колони у 0, користећи неку комбинацију Р3. Не желите да користите Р2, јер би 1 у другој колони Р2 променио Р1 на погрешан начин. Дакле, множите Р3 * 1/3 и додајете резултат у Р1. Ознака за ово је Р1 + 1/3 * Р3. Термин за разраду појма резултира Р1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Можете ово поједноставити на нови Р1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Копирајте непромењене Р2 = [0,1,0,4] и Р3 = [0,0,1,1].
10. Направите 0 у првом реду, другој колони (Р1Ц2). Ако је све урађено исправно, ово би требало да буде последњи корак. Морате претворити 1/3 у другој колони у 0. То можете добити множењем и одузимањем Р2 * 1/3. Укратко, ово је Р1-1 / 3 * Р2. Резултат је Р1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Поједностављењем се добија Р1 = [1,0,0,2].
11. Потражите матрицу решења. У овом тренутку, ако би све прошло у реду, имали бисте три реда Р1 = [1,0,0,2], Р2 = [0,1,0,4] и Р3 = [0,0,1,1] морају имати. Имајте на уму да ако ово напишете у образац матрице блока са редовима један изнад другог, имате дијагоналу 1 са 0 даље, а ваша решења су у четвртој колони. Матрица решења би требало да изгледа овако:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Разумевање вашег решења. Након конверзије линеарних једначина у матрицу, к коефицијенте стављате у прву колону, и коефицијенте у другу колону, з коефицијенте у трећу колону. Ако желите поново да препишете матрицу у једначине, ове три линије матрице заправо значе три једначине 1к + 0и + 0з = 2, 0к + 1и + 0з = 4 и 0к + 0и + 1з = 1. С обзиром да можемо прецртати 0 чланака и не морамо писати коефицијенте 1, ове три једначине поједностављују решење, к = 2, и = 4 и з = 1. Ово је решење вашег система линеарних једначина.

Део 4 од 4: Провера решења

1. Укључите решења у сваку променљиву у сваку једначину. Увек је добра идеја да проверите да ли је ваше решење заправо тачно. То радите тестирањем резултата у оригиналним једначинама.
   • Првобитне једначине за овај задатак биле су: 3к + и-з = 9, 2к-2и + з = -3 и к + и + з = 7. Када замените променљиве њиховим вредностима које сте пронашли, добићете 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 и 2 + 4 + 1 = 7.
2. Поједноставите свако поређење. Извршите операције у свакој једначини према основним правилима операција. Прва једначина поједностављује на 6 + 4-1 = 9, или 9 = 9. Друга једначина се може поједноставити на 4-8 + 1 = -3 или -3 = -3. Последња једначина је једноставно 7 = 7.
   • Будући да се било која једначина поједностављује до праве математичке изјаве, ваша решења су тачна. Ако је неко од решења нетачно, поново проверите свој рад и потражите грешке. Неке уобичајене грешке се јављају када се успут решите знакова минус или збуните множење и сабирање разломака.
3. Напишите своја коначна решења. За овај задати проблем коначно решење је к = 2, и = 4 и з = 1.

Савети

• Ако је ваш систем једначина врло сложен, са много променљивих, можда ћете моћи да користите графички калкулатор уместо да радите ручно. За информације о овоме можете се обратити и викиХов.