Како исцртати квадратну једначину

Садржај

Кораци
Савјети

Графикон квадратне једначине облика ак + бк + ц или а (к - х) + к је парабола (крива у облику слова У). Да бисте исцртали такву једначину, морате пронаћи врх параболе, њен смер и тачке пресека са осама Кс и И. Ако вам је дата релативно једноставна квадратна једначина, тада можете заменити различите вредности „к "у њега пронађите одговарајуће вредности" и "и направите графикон ...

Кораци

1 Квадратна једначина се може написати у стандардном облику и у нестандардном облику. За исцртавање квадратне једначине можете користити било коју једначину (метода цртања је мало другачија). По правилу се у задацима квадратне једначине дају у стандардном облику, али овај чланак ће вам рећи о обе врсте писања квадратне једначине.
- Стандардни облик: ф (к) = ак + бк + ц, где су а, б, ц реални бројеви и а = 0.
  - На пример, две једначине стандардног облика: ф (к) = к + 2к + 1 и ф (к) = 9к + 10к -8.
- Нестандардни облик: ф (к) = а (к - х) + к, где су а, х, к реални бројеви и а = 0.
  - На пример, две једначине нестандардног облика: ф (к) = 9 (к - 4) + 18 и -3 (к - 5) + 1.
- Да бисте исцртали било коју квадратну једначину, прво морате пронаћи врх параболе који има координате (х, к). Координате врха параболе у једначинама стандардног облика израчунавају се по формулама: х = -б / 2а и к = ф (х); координате врха параболе у једначинама нестандардног облика могу се добити директно из једначина.
2 Да бисте исцртали графикон, морате пронаћи нумеричке вредности коефицијената а, б, ц (или а, х, к). У већини проблема квадратне једначине су дате са нумеричким вредностима коефицијената.
- На пример, у стандардној једначини ф (к) = 2к + 16к + 39 а = 2, б = 16, ц = 39.
- На пример, у нестандардној једначини ф (к) = 4 (к - 5) + 12, а = 4, х = 5, к = 12.
3 Израчунајте х у стандардној једначини (у нестандардној је већ дато) користећи формулу: х = -б / 2а.
- У нашем примеру стандардне једначине, ф (к) = 2к + 16к + 39 х = -б / 2а = -16/2 (2) = -4.
- У нашем примеру нестандардне једначине, ф (к) = 4 (к - 5) + 12 х = 5.
4 Израчунајте к у стандардној једначини (у нестандардној је већ дато). Запамтите да је к = ф (х), то јест, можете пронаћи к заменом пронађене вредности х уместо "к" у оригиналну једначину.
- Утврдили сте да је х = -4 (за стандардну једначину). Да бисте израчунали к, замените ову вредност са "к":
  - к = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
  - к = 2 (16) - 64 + 39.
  - к = 32 - 64 + 39 = 7
- У нестандардној једначини, к = 12.
5 Нацртајте врх са координатама (х, к) на координатној равни. х је уцртано дуж осе Кс, а к по оси И. Врх параболе је или најнижа тачка (ако је парабола усмерена према горе) или највиша тачка (ако је парабола окренута надоле).
- У нашем примеру стандардне једначине, врх има координате (-4, 7). Нацртајте ову тачку на координатној равни.
- У нашем примеру прилагођене једначине, врх има координате (5, 12). Нацртајте ову тачку на координатној равни.
6 Нацртајте осу симетрије параболе (опционално). Оса симетрије пролази кроз врх параболе паралелно са оси И (то јест, строго вертикално). Оса симетрије дели параболу на пола (то јест, парабола је огледало-симетрична око ове осе).
- У нашем примеру стандардне једначине, оса симетрије је права линија паралелна са оси И и пролази кроз тачку (-4, 7). Иако ова линија није део саме параболе, она даје идеју о симетрији параболе.
7 Одредите смер параболе - горе или доле. Ово је врло лако учинити.Ако је коефицијент "а" позитиван, тада је парабола усмерена нагоре, а ако је коефицијент "а" негативан, онда је парабола усмерена надоле.
- У нашем примеру стандардне једначине, ф (к) = 2к + 16к + 39, парабола је усмерена према горе, пошто је а = 2 (позитиван коефицијент).
- У нашем примеру нестандардне једначине ф (к) = 4 (к - 5) + 12, парабола је такође усмерена према горе, пошто је а = 4 (позитиван коефицијент).
8 Ако је потребно, лоцирајте и исцртајте х-пресретање. Ове тачке ће вам много помоћи при цртању параболе. Могу бити два, један или ниједан (ако је парабола усмерена нагоре и њен врх лежи изнад оси Кс, или ако је парабола усмерена надоле, а њен врх лежи испод оси Кс). Да бисте израчунали координате тачака пресека са оси Кс, урадите следеће:
- Једначину поставите на нулу: ф (к) = 0 и решите је. Ова метода ради са једноставним квадратним једначинама (нарочито нестандардним), али може бити изузетно тешка за сложене једначине. У нашем примеру:
  - ф (к) = 4 (к - 12) - 4
  - 0 = 4 (к - 12) - 4
  - 4 = 4 (к - 12)
  - 1 = (к - 12)
  - √1 = (к - 12)
  - +/- 1 = к -12. Тачке пресека параболе са оси Кс имају координате (11,0) и (13,0).
- Узмите у обзир квадратну једначину стандардног облика: ак + бк + ц = (дк + е) (фк + г), где је дк × фк = ак, (дк × г + фк × е) = бк, е × г = ц. Затим поставите сваки бином на 0 и пронађите вредности за "к". На пример:
  - к + 2к + 1
  - = (к + 1) (к + 1)
  - У овом случају постоји једна тачка пресека параболе са осом к са координатама (-1,0), јер је при к + 1 = 0 к = -1.
- Ако не можете факторисати једначину, решите је помоћу квадратне формуле: к = (-б +/- √ (б- 4ац)) / 2а.
  - На пример: -5к + 1к + 10.
  - к = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
  - к = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
  - к = (-1 +/- √ (201)) /- 10
  - к = (-1 +/- 14,18) /- 10
  - к = (13,18 / -10) и (-15,18 / -10). Тачке пресека параболе са оси Кс имају координате (-1,318,0) и (1,518,0).
  - У нашем примеру, једначине стандардног облика 2к + 16к + 39:
  - к = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
  - к = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
  - к = (-16 +/- √ (-56) /- 10)
  - Пошто је немогуће извући квадратни корен негативног броја, у овом случају парабола не пресеца Кс-осу.
9 По потреби лоцирајте и исцртајте и-пресретање. Врло је једноставно - укључите к = 0 у оригиналну једначину и пронађите вредност за "и". И-пресретање је увек исто. Напомена: у једначинама стандардног облика тачка пресека има координате (0, с).
- На пример, парабола квадратне једначине 2к + 16к + 39 пресеца се са И осом у тачки са координатама (0, 39), будући да је ц = 39. Али ово се може израчунати:
  - ф (к) = 2к + 16к + 39
  - ф (к) = 2 (0) + 16 (0) + 39
  - ф (к) = 39, односно парабола ове квадратне једначине сече И-осу у тачки са координатама (0, 39).
- У нашем примеру нестандардне једначине 4 (к-5) + 12, и-пресек се израчунава на следећи начин:
  - ф (к) = 4 (к - 5) + 12
  - ф (к) = 4 (0 - 5) + 12
  - ф (к) = 4 (-5) + 12
  - ф (к) = 4 (25) + 12
  - ф (к) = 112, односно парабола ове квадратне једначине сече И-осу у тачки са координатама (0, 112).
10 Пронашли сте (и исцртали) врх параболе, њен правац и тачке пресека са осама Кс и И. Можете направити параболе из ових тачака или пронаћи и исцртати додатне тачке и тек онда изградити параболу. Да бисте то урадили, укључите више к вредности (са обе стране врха) у оригиналну једначину да бисте израчунали одговарајуће вредности и.
- Вратимо се на једначину к + 2к + 1. Већ знате да је тачка пресека графа ове једначине са оси Кс тачка са координатама (-1,0). Ако парабола има само једну тачку пресека са оси Кс, онда је ово врх параболе која лежи на оси Кс. У овом случају једна тачка није довољна за изградњу правилне параболе. Зато пронађите неке додатне поене.
  - Рецимо к = 0, к = 1, к = -2, к = -3.
  - к = 0: ф (к) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Координате тачака: (0,1).
  - к = 1: ф (к) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Координате тачака: (1,4).
  - к = -2: ф (к) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Координате тачака: (-2,1).
  - к = -3: ф (к) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Координате тачака: (-3,4).
  - Нацртајте ове тачке на координатној равни и нацртајте параболу (повежите тачке са У-кривом). Имајте на уму да је парабола апсолутно симетрична - било која тачка на једној грани параболе може се пресликати (у односу на осу симетрије) на другој грани параболе. Ово ће вам уштедети време, јер не морате да рачунате координате тачака на обе гране параболе.

Савјети

Заокружи разломљене бројеве (ако је то захтев наставника) - овако градиш исправну параболу.
Ако су у ф (к) = ак + бк + ц коефицијенти б или ц једнаки нули, онда у једначини нема појмова са овим коефицијентима.На пример, 12к + 0к + 6 постаје 12к + 6 јер је 0к 0.