Садржај

• Прелиминарне информације
• Кораци
• 1. део од 3: Основе
• Део 2 од 3: Својства Лаплацеове трансформације
• 3. део 3: Проналажење Лапласове трансформације проширењем серије

Лаплацеова трансформација је интегрална трансформација која се користи за решавање диференцијалних једначина са константним коефицијентима. Ова трансформација се широко користи у физици и инжењерству.

Иако можете користити одговарајуће табеле, корисно је разумети Лаплацеову трансформацију тако да то можете учинити сами ако је потребно.

Прелиминарне информације

• Дата функција ${ дисплаистиле ф (т)}$дефинисано за ${ дисплаистиле т гек 0.}$ Онда Лапласова трансформација функција ${ дисплаистиле ф (т)}$ је следећа функција сваке вредности ${ дисплаистиле с}$, при чему интеграл конвергира:
  • ${ дисплаистиле Ф (с) = { матхцал {Л}} {ф (т) } = инт _ {0} ^ { инфти} ф (т) е ^ {- ст} матхрм {д} т}$
• Лаплацеова трансформација преузима функцију од т-региона (временска скала) до с-региона (регион трансформације), где ${ дисплаистиле Ф (с)}$ је сложена функција сложене променљиве. Омогућава вам да преместите функцију у област у којој се лакше може пронаћи решење.
• Очигледно, Лаплацеова трансформација је линеарни оператор, па ако имамо посла са збиром појмова, сваки интеграл се може израчунати засебно.
  • ${ дисплаистиле инт _ {0} ^ { инфти} [аф (т) + бг (т)] е ^ {- ст} матхрм {д} т = а инт _ {0} ^ { инфти} ф (т) е ^ {- ст} матхрм {д} т + б инт _ {0} ^ { инфти} г (т) е ^ {- ст} матхрм {д} т}$
• Запамтите да Лаплацеова трансформација функционише само ако интеграл конвергира. Ако функција ${ дисплаистиле ф (т)}$ има дисконтинуитете, потребно је бити опрезан и правилно поставити границе интеграције како би се избегла неизвесност.

Кораци

1. део од 3: Основе

1. 1 Замијените функцију у Лаплацеову формулу трансформације. Теоретски, Лаплацеову трансформацију функције је врло лако израчунати. Као пример, размотрите функцију ${ дисплаистиле ф (т) = е ^ {ат}}$, где ${ дисплаистиле а}$ је сложена константа са ${ дисплаистиле операторнаме {Ре} (с) операторнаме {Ре} (а).}$
   • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {е ^ {ат} } = инт _ {0} ^ { инфти} е ^ {ат} е ^ {- ст} матхрм {д} т}$
2. 2 Процијените интеграл користећи доступне методе. У нашем примеру, процена је врло једноставна и можете се снаћи једноставним прорачунима. У сложенијим случајевима могу бити потребне сложеније методе, на пример, интеграција по деловима или диференцијација под интегралним знаком. Услов ограничења ${ дисплаистиле операторнаме {Ре} (с) операторнаме {Ре} (а)}$ значи да интеграл конвергира, односно његова вредност тежи 0 ас ${ дисплаистиле т то инфти.}$
   • ${ дисплаистиле { бегин {алигн} { матхцал {Л}} {е ^ {ат} } & = инт _ {0} ^ { инфти} е ^ {(ас) т} матхрм {д } т & = { фрац {е ^ {(ас) т}} {ас}} Бигг _ {0} ^ { инфти} & = { фрац {1} {са}} енд {Поравнање}}}$
   • Имајте на уму да нам ово даје два типа Лаплацеове трансформације, са синусом и косинусом, јер према Ојлеровој формули ${ дисплаистиле е ^ {иат}}$... У овом случају у називнику добијамо ${ дисплаистиле с-иа,}$ а остаје само да се утврде стварни и имагинарни делови. Такође можете директно проценити резултат, али то би потрајало мало дуже.
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} { цос ат } = име оператора {Ре} лево ({ фрац {1} {с-иа}} ригхт) = { фрац {с} {с ^ {2} + а ^ {2}}}}$
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} { син у } = име оператора {Им} лево ({ фрац {1} {с-иа}} ригхт) = { фрац {а} {с ^ {2} + а ^ {2}}}}$
3. 3 Размотримо Лаплацеову трансформацију функције степена. Прво морате дефинисати трансформацију функције степена, будући да вам својство линеарности омогућава да пронађете трансформацију за свих полиноми. Функција облика ${ дисплаистиле т ^ {н},}$ где ${ дисплаистиле н}$ - било који позитиван цео број. Може се интегрирати комад по дио за дефинирање рекурзивног правила.
   • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {т ^ {н} } = инт _ {0} ^ { инфти} т ^ {н} е ^ {- ст} матхрм {д} т = { фрац {н} {с}} { матхцал {Л}} {т ^ {н-1} }}$
   • Овај резултат је изражен имплицитно, али ако замените неколико вредности ${ дисплаистиле н,}$ можете успоставити одређени образац (покушајте то учинити сами), што вам омогућава да добијете следећи резултат:
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {т ^ {н} } = { фрац {н!} {с ^ {н + 1}}}}$
   • Такође можете дефинисати Лаплаце -ову трансформацију фракционих моћи помоћу гама функције. На пример, на овај начин можете пронаћи трансформацију функције као што је ${ дисплаистиле ф (т) = { скрт {т}}.}$
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {т ^ {н} } = { фрац { Гамма (н + 1)} {с ^ {н + 1}}}}$
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {т ^ {1/2} } = { фрац { Гамма (3/2)} {с ^ {3/2}}} = { фрац { скрт { пи}} {2с { скрт {с}}}}}$
   • Иако функције са разломачким степенима морају имати резове (запамтите, све сложене бројеве ${ дисплаистиле з}$ и ${ дисплаистиле алпха}$ може се написати као ${ дисплаистиле з ^ { алпха}}$, због ${ дисплаистиле е ^ { алпха име оператора {Дневник} з}}$), они се увијек могу дефинирати на такав начин да резови леже у лијевој полуравни и тако избјећи проблеме с аналитичношћу.

Део 2 од 3: Својства Лаплацеове трансформације

1. 1 Пронађимо Лаплацеову трансформацију функције помножену са еат{ дисплаистиле е ^ {ат}}. Резултати добијени у претходном одељку омогућили су нам да сазнамо нека занимљива својства Лаплацеове трансформације. Чини се да је Лаплацеова трансформација функција као што су косинус, синус и експоненцијална функција једноставнија од трансформације функције степена. Множење са ${ дисплаистиле е ^ {ат}}$ у т-региону одговара смена у с-региону:
   • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {е ^ {ат} ф (т) } = инт _ {0} ^ { инфти} ф (т) е ^ {- (са) т} матхрм {д} т = Ф (са)}$
   • Ово својство вам одмах омогућава да пронађете трансформацију функција као што су ${ дисплаистиле ф (т) = е ^ {3т} син 2т}$, без потребе за израчунавањем интеграла:
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {е ^ {3т} син 2т } = { фрац {2} {(с-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Пронађимо Лаплацеову трансформацију функције помножену са тн{ дисплаистиле т ^ {н}}. Прво размислите о множењу са ${ дисплаистиле т}$... По дефиницији, може се разликовати функција под интегралом и добити изненађујуће једноставан резултат:
   • ${ дисплаистиле { бегин {алигн} { матхцал {Л}} {тф (т) } & = инт _ {0} ^ { инфти} тф (т) е ^ {- ст} матхрм { д} т & = - инт _ {0} ^ { инфти} ф (т) { фрац { Парцијално {{парцијално с}} е ^ { - ст} матхрм {д} т & = - { фрац { матхрм {д}} { матхрм {д} с}} инт _ {0} ^ { инфти} ф (т) е ^ { - ст} матхрм {д} т & = - { фрац { матхрм {д} Ф} { матхрм {д} с}} енд {поравнато}}}$
   • Понављајући ову операцију, добијамо коначни резултат:
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {т ^ {н} ф (т) } = (- 1) ^ {н} { фрац { матхрм {д} ^ {н} Ф} { матхрм {д} с ^ {н}}}}$
   • Иако преуређивање оператора интеграције и диференцијације захтева неко додатно оправдање, нећемо га овде представљати, већ само напоменути да је ова операција тачна ако коначни резултат има смисла. Такође можете узети у обзир чињеницу да су променљиве ${ дисплаистиле с}$ и ${ дисплаистиле т}$ не зависе једно од другог.
   • Користећи ово правило, лако је пронаћи трансформацију функција као што су ${ дисплаистиле т ^ {2} цос 2т}$, без поновне интеграције по деловима:
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {т ^ {2} цос 2т } = { фрац { матхрм {д} ^ {2}} { матхрм {д} с ^ {2}}} { фрац {с} {с ^ {2} +4}} = { фрац {2с ^ {3} -24с} {(с ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Пронађите Лаплацеову трансформацију функције ф(ат){ дисплаистиле ф (ат)}. Ово се може лако урадити заменом променљиве са у помоћу дефиниције трансформације:
   • ${ дисплаистиле { бегин {алигн} { матхцал {Л}} {ф (ат) } & = инт _ {0} ^ { инфти} ф (ат) е ^ {- ст} матхрм { д} т, у = ат & = { фрац {1} {а}} инт _ {0} ^ { инфти} ф (у) е ^ {- су / а} матхрм {д } у & = { фрац {1} {а}} Ф лево ({ фрац {с} {а}} десно) енд {поравнато}}}$
   • Горе смо пронашли Лаплацеову трансформацију функција ${ дисплаистиле син ат}$ и ${ дисплаистиле цос ат}$ директно из експоненцијалне функције. Користећи ово својство, можете добити исти резултат ако пронађете стварне и замишљене делове ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {е ^ {ит} } = { фрац {1} {с-и}}}$.
4. 4 Пронађи Лаплацеову трансформацију извода ф′(т){ дисплаистиле ф ^ { приме} (т)}. За разлику од претходних примера, у овом случају морати интегришите део по део:
   • ${ дисплаистиле { бегин {алигн} { матхцал {Л}} {ф ^ { приме} (т) } & = инт _ {0} ^ { инфти} ф ^ { приме} (т ) е ^ {- ст} матхрм {д} т, у = е ^ {- ст}, матхрм {д} в = ф ^ { приме} (т) матхрм {д} т & = ф (т) е ^ {- ст} Биг _ {0} ^ { инфти} + с инт _ {0} ^ { инфти} ф (т) е ^ {- ст} матхрм {д } т & = сФ (с) -ф (0) енд {алигн}}}$
   • Пошто се други дериват јавља у многим физичким проблемима, налазимо и Лапласову трансформацију за њега:
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {ф ^ { приме приме} (т) } = с ^ {2} Ф (с) -сф (0) -ф ^ { приме} (0) }$
   • У општем случају, Лапласова трансформација деривата н -тог реда је дефинисана на следећи начин (ово омогућава решавање диференцијалних једначина помоћу Лапласове трансформације):
     • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} {ф ^ {(н)} (т) } = с ^ {н} Ф (с) - сум _ {к = 0} ^ {н -1} с ^ {нк-1} ф ^ {(к)} (0)}$

3. део 3: Проналажење Лапласове трансформације проширењем серије

1. 1 Пронађимо Лаплацеову трансформацију за периодичну функцију. Периодична функција задовољава услов ${ дисплаистиле ф (т) = ф (т + нТ),}$ где ${ дисплаистиле Т}$ је период функције, и ${ дисплаистиле н}$ је позитиван цео број. Периодичне функције се широко користе у многим апликацијама, укључујући обраду сигнала и електротехнику. Користећи једноставне трансформације, добијамо следећи резултат:
   • ${ дисплаистиле { бегин {алигн} { матхцал {Л}} {ф (т) } & = инт _ {0} ^ { инфти} ф (т) е ^ {- ст} матхрм { д} т & = сум _ {н = 0} ^ { инфти} инт _ {нТ} ^ {(н + 1) Т} ф (т) е ^ {- ст} матхрм {д} т & = сум _ {н = 0} ^ { инфти} инт _ {0} ^ {Т} ф (т + нТ) е ^ {- с (т + нТ)} матхрм {д} т & = сум _ {н = 0} ^ { инфти} е ^ {- снТ} инт _ {0} ^ {Т} ф (т) е ^ {- ст} матхрм {д} т & = { фрац {1} {1-е ^ {- сТ}}} инт _ {0} ^ {Т} ф (т) е ^ {- ст} матхрм {д} т енд { Поравнање}}}$
   • Као што видите, у случају периодичне функције, довољно је извршити Лаплацеову трансформацију за један период.
2. 2 Извршите Лаплацеову трансформацију за природни логаритам. У овом случају, интеграл се не може изразити у облику елементарних функција. Коришћење гама функције и њено проширење серије омогућава вам да процените природни логаритам и његове степене. Присуство Еулер-Масцхеронијеве константе ${ дисплаистиле гама}$ показује да је за процену овог интеграла потребно користити проширење низа.
   • ${ дисплаистиле { матхцал {Л}} { лн т } = - { фрац { гама + лн с} {с}}}$
3. 3 Размотримо Лаплацеову трансформацију ненормализоване синц функције. Функција ${ дисплаистиле операторнаме {синц} (т) = { фрац { син т} {т}}}$ широко се користи за обраду сигнала, у диференцијалним једначинама еквивалент је сферичној Бесселовој функцији прве врсте и нултог реда ${ дисплаистиле ј_ {0} (к).}$ Лаплацеова трансформација ове функције такође се не може израчунати стандардним методама. У овом случају се врши трансформација појединих чланова низа, који су функције степена, па се њихове трансформације нужно конвергирају у датом интервалу.
   • Прво записујемо проширење функције у Таилоров низ:
     • ${ дисплаистиле { фрац { син т} {т}} = сум _ {н = 0} ^ { инфти} { фрац {(-1) ^ {н} т ^ {2н}} {(2н +1)!}}}$
   • Сада користимо већ познату Лаплацеову трансформацију функције степена. Фактори се поништавају и као резултат добијамо Таилорову експанзију за арктангенсу, то јест, наизменични низ који подсећа на Таилоров низ за синус, али без факторијала:
     • ${ дисплаистиле { бегин {алигн} { матхцал {Л}} лефт {{ фрац { син т} {т}} ригхт } & = сум _ {н = 0} ^ { инфти } { фрац {(-1) ^ {н} (2н)!} {(2н + 1)!}} { фрац {1} {с ^ {2н + 1}}} & = сум _ {н = 0} ^ { инфти} { фрац {(-1) ^ {н}} {2н + 1}} { фрац {1} {с ^ {2н + 1}}} & = тен ^ {- 1} { фрац {1} {с}} енд {алигн}}}$