Како поделити матрице

Видео: Как находить обратную матрицу - bezbotvy

Садржај

Кратак резиме
Кораци
1. део од 3: Тестирање дељивости матрица
2. део 3: Проналажење инверзне матрице
3. део 3: Матрично множење
Савјети
Упозорења
Додатни чланци

Ако знате да помножите две матрице, можете почети са „дељењем“ матрица. Реч „подела“ је стављена под наводнике, јер се матрице заправо не могу поделити. Операција дељења је замењена операцијом множења једне матрице са матрицом која је инверзна другој матрици. Ради једноставности, размотрите пример са целим бројевима: 10 ÷ 5. Пронађите реципрочну вредност од 5: 5 или /₅, а затим замену дељења множењем: 10 к 5; резултат дељења и множења ће бити исти. Стога се верује да се подела може заменити множењем са инверзном матрицом. Обично се такви прорачуни користе за решавање система линеарних једначина.

Кратак резиме

Не можете делити матрице. Уместо дељења, једна матрица се помножи са инверсом друге матрице. "Подела" две матрице [А] ÷ [Б] се записује на следећи начин: [А] * [Б] или [Б] * [А].
Ако матрица [Б] није квадратна или ако је њена одредница 0, запишите „нема једнозначног решења“. У супротном, пронађите одредницу матрице [Б] и пређите на следећи корак.
Нађи инверзно: [Б].
Помножите матрице да бисте пронашли [А] * [Б] или [Б] * [А]. Имајте на уму да редослед множења матрица утиче на крајњи резултат (то јест, резултати могу варирати).

Кораци

1. део од 3: Тестирање дељивости матрица

1 Схватите "поделу" матрица. У ствари, матрице се не могу поделити. Не постоји таква математичка операција као „дељење једне матрице на другу“. Подела се замењује множењем једне матрице обрнуто од друге матрице. То јест, ознака [А] ÷ [Б] није тачна, па се замењује следећом ознаком: [А] * [Б]. Пошто су оба уноса еквивалентна у случају скаларних вредности, теоретски се може говорити о „подели“ матрица, али је ипак боље користити исправну терминологију.
- Имајте на уму да су [А] * [Б] и [Б] * [А] различите операције. Можда ће бити потребно извршити обе операције како би се пронашла сва могућа решења.
- На пример, уместо ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 13 & 26 39 & 13 енд {пматрик}} див { бегин {пматрик} 7 & 4 2 & 3 енд {пматрик}}}$ записати ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 13 & 26 39 & 13 енд {пматрик}} * { бегин {пматрик} 7 & 4 2 & 3 енд {пматрик}} ^ {- 1} }$ .
  Можда ћете морати да израчунате ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 7 & 4 2 & 3 енд {пматрик}} ^ {- 1} * { бегин {пматрик} 13 & 26 39 & 13 енд {пматрик}} }$ да бисте добили другачији резултат.
2 Уверите се да је матрица са којом „делите“ другу матрицу квадратна. Да бисте обрнули матрицу (пронађите инверз матрице), она мора бити квадратна, односно са истим бројем редова и колона. Ако обрнута матрица није инверзна, нема дефинитивног решења.
- Опет, матрице овде нису "дељиве". У операцији [А] * [Б], описани услов се односи на матрицу [Б]. У нашем примеру, овај услов се односи на матрицу ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 7 & 4 2 & 3 енд {пматрик}}}$
- Матрица која се може обрнути назива се не-дегенерисана или регуларна. Матрица која се не може обрнути назива се дегенерисана или сингуларна.
3 Проверите да ли се две матрице могу помножити. Да бисте помножили две матрице, број колона у првој матрици мора бити једнак броју редова у другој матрици. Ако овај услов није испуњен у уносу [А] * [Б] или [Б] * [А], нема решења.
- На пример, ако је величина матрице [А] 4 к 3, а величина матрице [Б] 2 к 2, нема решења. Не можете помножити [А] * [Б] јер 4 = 2, а не можете помножити [Б] * [А] јер 2 = 3.
- Имајте на уму да инверзна матрица [Б] увек има исти број редова и колона као оригинална матрица [Б]. Није потребно пронаћи инверзну матрицу да би се проверило да ли се две матрице могу помножити.
- У нашем примеру, величина обе матрице је 2 к 2, па се могу помножити било којим редоследом.
4 Нађи одредницу матрице 2 × 2. Запамтите: матрицу можете обрнути само ако њена одредница није нула (у супротном не можете обрнути матрицу). Ево како пронаћи одредницу матрице 2 к 2:
- 2 к 2 матрица: одредница матрице ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} а & б ц & д енд {пматрик}}}$ једнак је ад - бц. То јест, од производа елемената главне дијагонале (пролази кроз горњи леви и доњи десни угао) одузмите производе елемената друге дијагонале (пролази кроз горњи десни и доњи леви угао).
- На пример, одредница матрице ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 7 & 4 2 & 3 енд {пматрик}}}$ једнака је (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Одредница није нула, па се ова матрица може обрнути.
5 Нађи одредницу веће матрице. Ако је величина матрице 3 к 3 или више, одредницу је нешто теже израчунати.
- 3 к 3 матрица: изаберите било коју ставку и прецртајте ред и колону у којој се налази.Пронађите одредницу добијене матрице 2 × 2, а затим је помножите са изабраним елементом; наведите знак одреднице у посебној табели. Поновите овај поступак за остале две ставке које се налазе у истом реду или колони са ставком коју сте изабрали. Затим пронађите збир примљених (три) одреднице. Прочитајте овај чланак за више информација о томе како пронаћи одредницу матрице 3 к 3.
- Велике матрице: одредницу таквих матрица најбоље је тражити помоћу графичког калкулатора или софтвера. Метода је слична методи за проналажење одреднице матрице 3 × 3, али је прилично досадно примењивати је ручно. На пример, да бисте пронашли одредницу матрице 4 к 4, морате пронаћи одреднице четири матрице 3 к 3.
6 Наставите са прорачунима. Ако матрица није квадратна или ако је њена одредница једнака нули, напишите "нема једнозначног решења", односно процес израчунавања је завршен. Ако је матрица квадратна и има одредницу различиту од нуле, пређите на следећи одељак.

2. део 3: Проналажење инверзне матрице

1 Замените елементе главне дијагонале матрице 2 к 2. С обзиром на матрицу 2 × 2, користите брзу инверзну методу. Прво замените горњи леви елемент и доњи десни елемент. На пример:
- ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 7 & 4 2 & 3 енд {пматрик}}}$ → ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 3 & 4 2 & 7 енд {пматрик}}}$
- Белешка: већина људи користи калкулаторе за преокретање матрице 3 к 3 (или веће). Ако ово морате да урадите ручно, идите на крај овог одељка.
2 Немојте заменити преостала два елемента, већ промените њихов предзнак. То јест, помножите горњи десни елемент и доњи леви елемент са -1:
- ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 3 & 4 2 & 7 енд {пматрик}}}$ → ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 3 & -4 - 2 & 7 енд {пматрик}}}$
3 Нађи реципрочну вредност одреднице. Одредница ове матрице пронађена је у претходном одељку, па је нећемо поново рачунати. Инверзна одредница се записује на следећи начин: 1 / (одредница):
- У нашем примеру, одредница је 13. Обрнута вредност: ${ дисплаистиле { фрац {1} {13}}}$ .
4 Добијену матрицу помножите са реципрочношћу одреднице. Помножите сваки елемент нове матрице обрнуто од одреднице. Коначна матрица ће бити инверзна од оригиналне матрице 2 к 2:
- ${ дисплаистиле { фрац {1} {13}} * { бегин {пматрик} 3 & -4 - 2 & 7 енд {пматрик}}}$
  = ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} { фрац {3} {13}} & { фрац {-4} {13}} { фрац {-2} {13}} & { фрац {7 } {13}} енд {пматрик}}}$
5 Проверите да ли су прорачуни тачни. Да бисте то урадили, помножите оригиналну матрицу са инверзном. Ако су прорачуни тачни, производ оригиналне матрице по инверзи ће дати матрицу идентитета: (1001){ дисплаистиле { бегин {пматрик} 1 & 0 0 & 1 енд {пматрик}}}... Ако је тест био успешан, пређите на следећи одељак.
- У нашем примеру: ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} { фрац {3} {13}} & { фрац {-4} {13}} { фрац {-2} {13}} & { фрац {7 } {13}} енд {пматрик}} * { бегин {пматрик} 7 & 4 2 & 3 енд {пматрик}} = { бегин {пматрик} 1 & 0 0 & 1 енд {пматрик}}}$ .
- За више информација о начину множења матрица прочитајте овај чланак.
- Напомена: операција множења матрице није комутативна, односно редослед матрица је важан. Али када се оригинална матрица помножи са инверзном, сваки ред води до матрице идентитета.
6 Нађи инверз матрице 3 к 3 (или веће). Ако сте већ упознати са овим процесом, боље је користити графички калкулатор или посебан софтвер. Ако морате ручно пронаћи инверзну матрицу, процес је укратко описан у наставку:
- Придружите се матрици идентитета И на десној страни оригиналне матрице. На пример, [Б] → [Б | И]. За матрицу идентитета, сви елементи главне дијагонале су једнаки 1, а сви остали елементи 0.
- Поједноставите матрицу тако да њена лева страна постане степенаста; наставите са поједностављивањем тако да лева страна постане матрица идентитета.
- Након поједностављења, матрица ће имати следећи облик: [И | Б]. То јест, његова десна страна је инверзна од оригиналне матрице.

3. део 3: Матрично множење

1 Запишите два могућа израза. Операција множења два скалара је комутативна, то јест 2 к 6 = 6 к 2.То није случај у случају множења матрице, па ћете можда морати да решите два израза:
- Икс = [А] * [Б] је решење једначине Икс[Б] = [А].
- Икс = [Б] * [А] је решење једначине [Б]Икс = [А].
- Извршите сваку математичку операцију са обе стране једначине. Ако је [А] = [Ц] онда [Б] [А] = [Ц] [Б] јер је [Б] лево од [А], али десно од [Ц].
2 Одредите величину коначне матрице. Величина коначне матрице зависи од величине помножених матрица. Број редова у коначној матрици једнак је броју редова у првој матрици, а број колона у коначној матрици једнак је броју колона у другој матрици.
- У нашем примеру, величина обе матрице ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 13 & 26 39 & 13 енд {пматрик}}}$ и ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} { фрац {3} {13}} & { фрац {-4} {13}} { фрац {-2} {13}} & { фрац {7 } {13}} енд {пматрик}}}$ је 2 к 2, па ће величина оригиналне матрице бити 2 к 2.
- Размотримо сложенији пример: ако је величина матрице [А] 4 к 3, а величина матрице [Б] је 3 к 3, тада ће коначна матрица [А] * [Б] бити 4 к 3.
3 Пронађите вредност првог елемента. Прочитајте овај чланак или запамтите следеће основне кораке:
- Да бисте пронашли први елемент (први ред, прва колона) коначне матрице [А] [Б], израчунајте производ тачака елемената првог реда матрице [А] и елемената прве колоне матрице [Б ]. У случају матрице 2 к 2, тачкасти производ се израчунава на следећи начин: ${ дисплаистиле а_ {1,1} * б_ {1,1} + а_ {1,2} * б_ {2,1}}$ .
- У нашем примеру: ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 13 & 26 39 & 13 енд {пматрик}} * { бегин {пматрик} { фрац {3} {13}} & { фрац {-4} { 13}} { фрац {-2} {13}} & { фрац {7} {13}} енд {пматрик}}}$ ... Дакле, први елемент коначне матрице биће елемент:
  ${ дисплаистиле (13 * { фрац {3} {13}}) + (26 * { фрац {-2} {13}})}$
  ${ дисплаистиле = 3 + -4}$
  ${ дисплаистиле = -1}$
4 Наставите са израчунавањем тачкастих производа да бисте пронашли сваки елемент коначне матрице. На пример, елемент који се налази у другом реду и првој колони једнак је производу тачака другог реда матрице [А] и прве колоне матрице [Б]. Покушајте сами да пронађете преостале ставке. Требали бисте добити следеће резултате:
- ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 13 & 26 39 & 13 енд {пматрик}} * { бегин {пматрик} { фрац {3} {13}} & { фрац {-4} { 13}} { фрац {-2} {13}} & { фрац {7} {13}} енд {пматрик}} = { бегин {пматрик} -1 и 10 7 & -5 енд {пматрик}}}$
- Ако морате да пронађете друго решење: ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} { фрац {3} {13}} & { фрац {-4} {13}} { фрац {-2} {13}} & { фрац {7 } {13}} енд {пматрик}} * { бегин {пматрик} 13 & 26 39 & 13 енд {пматрик}} = { бегин {пматрик} -9 & 2 19 & 3 заврши {пматрик}}}$

Савјети

Матрица се може поделити на скаларну; за то је сваки елемент матрице подељен скаларом.
- На пример, ако матрица ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 6 & 8 2 & 4 енд {пматрик}}}$ подељено са 2, добијате матрицу ${ дисплаистиле { бегин {пматрик} 3 & 4 1 & 2 енд {пматрик}}}$

Упозорења

Калкулатор не даје увек апсолутно тачне резултате када су у питању матрични прорачуни. На пример, ако калкулатор тврди да је ставка веома мали број (као што је 2Е), вредност је највероватније нула.