Садржај

• На корак
• Метод 1 од 2: Вучење корена главним факторима
• Метод 2 од 2: Проналажење квадратних корена без калкулатора
• Дугом поделом
• Разумети поступак
• Савети
• Упозорења

Пре појаве калкулатора и студенти и професори морали су да израчунају квадратне корене оловком и папиром. Тада су развијене разне технике за решавање овог понекад тешког посла, од којих неке дају грубу процену, а друге израчунавају тачну вредност. Читајте даље да бисте сазнали како у неколико једноставних корака пронаћи квадратни корен броја.

На корак

Метод 1 од 2: Вучење корена главним факторима

1. Поделите свој број на факторе снаге. Ова метода користи факторе броја за проналажење квадратног корена броја (у зависности од броја то може бити тачан одговор или процена). Тхе Фактори датог броја су било који низови бројева који се множе заједно да би се формирао тај одређени број. На пример, можете рећи да су чиниоци 8 једнаки 2 и 4 јер је 2 × 4 = 8. Савршени квадрати, с друге стране, су цели бројеви који су умножак других целих бројева. На пример, 25, 36 и 49 су савршени квадрати јер су једнаки 5, 6, односно 7. Други фактори снаге, као што сте схватили, су фактори који су такође савршени квадрати. Да бисте пронашли квадратни корен помоћу простих фактора, прво покушајте да поделите број на његове друге факторе снаге.
   • Узмите следећи пример. Пронаћи ћемо квадратни корен из 400. За почетак број делимо на факторе снаге. Будући да је 400 вишекратник 100, знамо да је равномерно дељиво са 25 - савршеним квадратом. Куицк роте нам говори да је 400/25 = 16,16 такође савршен квадрат. Дакле, фактор коцке од 400 јесу 25 и 16 јер је 25 × 16 = 400.
   • Ово записујемо као: Скрт (400) = Скрт (25 × 16)
2. Узмите квадратне корене ваших других фактора снаге. Правило о производу квадратних корена каже да за било који дати број а и б, Скрт (а × б) = Скрт (а) × Скрт (б). Због ове особине, сада можемо узети квадратне корене фактора квадрата и помножити их заједно да бисмо добили одговор.
   • У нашем примеру узимамо квадратне корене од 25 и 16. Погледајте доле:
     • Скрт (25 × 16)
     • Скрт (25) × Скрт (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Ако ваш број не може бити савршено урачунат, поједноставите га. У стварности, бројеви којима желите да одредите квадратне корене неће бити лепи заокружени бројеви са лепим квадратима попут 400. У овим случајевима можда неће бити могуће добити цео број као одговор. Уместо тога, користећи све факторе снаге које можете пронаћи, одговор можете одредити као мањи квадратни корен лакши за употребу. То радите тако што смањујете број на комбинацију фактора снаге и других фактора, а затим га поједностављујете.
   • Као пример узимамо квадратни корен из 147. 147 није производ два савршена квадрата, па не можемо добити лепу целобројну вредност. Али то је умножак савршеног квадрата и другог броја - 49 и 3. Ове податке можемо користити да на најједноставнији начин напишемо свој одговор:
     • Скрт (147)
     • = Квадрат (49 × 3)
     • = Скрт (49) × Скрт (3)
     • = 7 × Скрт (3)
4. Поједноставите, ако је потребно. Користећи квадратни корен на најједноставнији начин, обично је прилично лако добити оквирну процену одговора проценом преосталих квадратних корена и њиховим множењем. Један од начина да побољшате своје претпоставке је да пронађете савршене квадрате са обе стране броја у вашем квадратном корену. Знате да је децимална вредност броја у вашем квадратном корену негде између ова два броја, па ће и ваша претпоставка морати да буде између ових бројева.
   • Вратимо се нашем примеру. Пошто је 2 = 4 и 1 = 1, знамо да је квадрат (3) између 1 и 2 - вероватно ближе 2 од 1. Процењујемо да је 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Ако ово проверимо помоћу калкулатора, видећемо да смо прилично близу одговора: 12,13.
     • Ово такође важи и за веће бројеве. На пример, скрт (35) је отприлике између 5 и 6 (вероватно ближе 6). 5 = 25 и 6 = 36,35 је између 25 и 36, тако да ће квадратни корен бити између 5 и 6. С обзиром да је 35 мало испод 36, можемо са сигурношћу рећи да је квадратни корен истог само је мање од 6. Провера помоћу калкулатора даје нам одговор од око 5,92 - били смо у праву.
5. Као први корак, можете поједноставити број на најмањи заједнички садржалац. Тражење фактора снаге није потребно ако лако можете пронаћи просте факторе броја (факторе који су уједно и прости бројеви). Запиши број у смислу најмање уобичајених вишекратника. Затим претражите међу факторима да бисте пронашли одговарајуће парове простих бројева. Када пронађете два основна фактора која се подударају, уклоните их из квадратног корена и поставите а ових бројева изван знака квадратног корена.
   • На пример, овом методом одређујемо квадратни корен из 45. Знамо да је 45 = 9 × 5, а да је 9 = 3 × 3. Дакле, квадратни корен можемо написати овако: Скрт (3 × 3 × 5). Једноставно избришите 3 и поставите 3 изван квадратног корена да бисте добили поједностављени квадратни корен: (3) Скрт (5). Сада можете лако да направите процену.
   • Последњи пример; одређујемо квадратни корен из 88:
     • Скрт (88)
     • = Квадрат (2 × 44)
     • = Квадрат (2 × 4 × 11)
     • = Скрт (2 × 2 × 2 × 11). У нашем квадратном корену имамо неколико два. Пошто је 2 основно, можемо уклонити пар и поставити 2 изван корена.
     • = Наш квадратни корен најједноставније речено је (2) Скрт (2 × 11) или (2) Скрт (2) Скрт (11). Сада можемо приступити Скрт-у (2) и Скрт-у (11) и пронаћи приближни одговор, ако смо то желели.

Метод 2 од 2: Проналажење квадратних корена без калкулатора

Дугом поделом

1. Подијелите цифре свог броја у парове. Ова метода је слична дугој подели, која вам омогућава да поделите тачно квадратни корен броја цифра по цифра. Иако није неопходно, растављање броја на изведиве делове може олакшати решавање, посебно ако је дуго. Прво нацртајте вертикалну линију која дели радно подручје на 2 подручја, а затим краћу линију близу врха десне површине, делећи је на мањи горњи део и већи део испод. Затим поделите број у парове бројева, почевши од децималне запете. Према овом правилу, 79520789182.47897 постаје „7 95 20 78 91 82.47 89 70“. Упишите овај број у горњи леви део.
   • Као пример, израчунајмо квадратни корен од 780,14. Поделите свој радни простор као горе и напишите "7 80, 14" у горњем левом углу. У реду је ако је крајње лево само један број, уместо два. Затим одговор напишете (квадратни корен 780,14) на врху десне области.
2. Пронађите највећи цели број н чији је квадрат мањи или једнак крајњој левој цифри или броју. Нађите највећи квадрат који је мањи или једнак овом броју, а затим пронађите квадратни корен овог квадрата. Овај број је н. Напиши то у горњем десном делу и напиши квадрат н у доњи квадрант те површине.
   • У нашем примеру, крајња лева цифра је број 7. Пошто знамо да је 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, можемо рећи да је н = 2, јер је ово највећи цео број чији је квадрат мањи или једнак 7. Напишите 2 у горњи десни квадрант. Ово је прва цифра одговора. Напиши 4 (квадрат 2) у доњи десни квадрант. Овај број је важан за следећи корак.
3. Одузми број који си израчунао крајње леве цифре или броја. Као и код дугог дељења, следећи корак је одузимање квадрата од броја који смо управо користили за прорачун. Напиши овај број испод крајњег левог броја и одузми их. Одговор напишите испод.
   • У нашем примеру напишемо 4 испод 7 и одузмемо га. Ово даје 3 као одговор на.
4. Померите следећи број надоле. Поставите ово поред вредности коју сте пронашли у претходном уређивању. Помножите број горе десно са два и запишите га доле десно. Оставите простор поред броја који сте управо записали за збир који ћете урадити у следећем кораку. Напиши овде "_ × _ =" ".
   • У нашем примеру, следећи број је „80“. Напиши "80" поред тачке 3 у левом квадранту. Затим помножите број у горњем десном углу са 2. Овај број је 2, дакле 2 × 2 = 4. Запишите "" 4 "" у доњем десном углу, а затим _×_=.
5. Унесите бројеве с десне стране. У празан простор збира (десно) унесите највећи цели број који ће резултат збрајања множења с десне стране учинити мањим или једнаким тренутном броју лево.
   • У нашем примеру уносимо 8, а то даје 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. То је веће од 380. Дакле, 8 је превелико, али 7 вероватно није. Попуните 7 и решите: 4 (7) × 7 = 329. 7 је добро јер је 329 мање од 380. У горњем десном углу напишите 7. Ово је друга цифра у квадратном корену од 780,14.
6. Од тренутног броја на левој страни одузмите број који сте управо израчунали. Дакле, резултат множења с десне стране одузимате од тренутног одговора на левој страни. Одговор напишите директно испод њега.
   • У нашем примеру од 380 одузимамо 329 и ово даје 51 као резултат.
7. Поновите 4. корак. Померите следећи пар бројева са 780,14 надоле. Када стигнете до зареза, запишите је зарезом у одговор с десне стране. Затим помножите горњи десни број са 2 и напишите одговор поред ("_ × _") као горе.
   • У свом одговору сада пишемо зарез, јер се са овим сусрећемо и у 780.14. Преместите следећи пар (14) низ леви квадрант. 27 к 2 = 54, па у доњи десни квадрант записујемо „54 _ × _ =“.
8. Поновите кораке 5 и 6. Нађите највећи број који даје одговор који је мањи или једнак тренутном броју лево. Реши.
   • У нашем примеру, 549 × 9 = 4941, што је мање или једнако броју на левој страни (5114). 549 × 10 = 5490, што је превисоко, па је 9 наш одговор. Напишите 9 као следећи горњи десни број и од левог броја одузмите резултат множења: 5114 -4941 = 173.
9. Да би резултат био тачан, понављајте претходни поступак док не пронађете одговор са потребним бројем децималних места (стотих, хиљадитих).

Разумети поступак

1. Узмите број чији квадратни корен желите да израчунате као површину С квадрата. С обзиром да је површина квадрата Л, где је Л дужина једне од његових страница, па проналажењем квадратног корена вашег броја покушавате да израчунате дужину странице странице тог квадрата.
2. Дајте свакој цифри свог одговора писмо. Унесите променљиву А као прву цифру Л (квадратни корен који покушавамо да израчунамо). Б је друга цифра, Ц трећа итд.
3. Дајте слово сваком „пару бројева“ броја са којим започињете. Дајте променљиву С._а до првог пара цифара у С (почетна вредност), С._б до другог пара цифара итд.
4. Разумети везу између ове методе и дугог делања. Овај метод проналажења квадратног корена у основи је дуга подела, где почетну вредност делите квадратним кореном и као одговор дајете „квадратни корен“. Као и код дугог дељења, где вас истовремено занимају само следеће цифре, истовремено вас занимају само следеће две цифре (које одговарају следећој цифри квадратног корена).
5. Нађите највећи број чији је квадрат мањи или једнак С._а је. Прва цифра А у нашем одговору је тада највећи цео број чији квадрат није већи од С._а (Такав да је А² ≤ Са (А + 1) ²). У нашем примеру, С._а = 7, а 2² ≤ 7 3², па је А = 2.
   • Имајте на уму да ако 88962 делите са 7 помоћу дугог дељења, први корак је једнак: прво се бавите првом цифром од 88962 (8) и желите да највећа цифра помножена са 7 буде мања или једнака 8. У суштини ви утврдити д такав да је 7 × д ≤ 8 7 × (д + 1). У овом случају, д је једнако 1.
6. Визуелизујте квадрат чија површина желите да пронађете. Ваш одговор, квадратни корен почетне вредности, је Л, који описује дужину квадрата површине С (почетна вредност). Вредности за А, Б и Ц представљају цифре у вредности Л. Други начин да се то каже је да је за двоцифрени одговор 10А + Б = Л, а за троцифрени одговор 100А + 10Б + Ц = Л, и тако даље.
   • У нашем примеру (10А + Б) ² = Л = С = 100А² + 2 × 10А × Б + Б². Запамтите да 10А + Б представља наш одговор Л заједно са Б у положају јединица, а А у положају десетица. На пример, ако је А = 1 и Б = 2, онда је 10А + Б број 12. (10А + Б) ² је површина читавог трга, док 100А² је површина највећег унутрашњег квадрата, Б² је површина најмањег квадрата и 10А × Б је површина сваког од преосталих правоугаоника. Кроз овај дугачки, сложени поступак можемо пронаћи површину читавог квадрата додавањем површина квадрата и правоугаоника који су његов део.
7. Одузми А² од С._а. Понесите пар бројева (С._б) доле од броја С. С._а С._б је готово укупна површина квадрата, од које сте управо одузели површину највећег унутрашњег квадрата. Остатак је, рецимо, број Н1, који смо добили у кораку 4 (Н1 = 380 у нашем примеру). Н1 је једнако 2 × 10А × Б + Б² (површина 2 правоугаоника плус површина малог квадрата).
8. Погледајте Н1 = 2 × 10А × Б + Б², такође записано као Н1 = (2 × 10А + Б) × Б. У нашем примеру већ знате Н1 (380) и А (2), па сада треба да пронађете Б. Б вероватно није цео број, па мораш заправо наћи највећи цео број Б, такав да је (2 × 10А + Б) × Б ≤ Н1. Дакле, сада имате: Н1 (2 × 10А + (Б + 1)) × (Б + 1).)
9. Реши једначину. Да бисте решили ову једначину, помножите А са 2, померите је у десет (помножите са 10), ставите Б у јединице и резултат помножите са Б. Другим речима, (2 × 10А + Б) × Б. Ово је тачно оно што радите када у доњем десном квадранту у кораку 4. напишете „Н_ × _ =“ (са Н = 2 × А). У 5. кораку одредите највећи цео број Б који одговара линији, дакле (2 × 10А + Б) × Б ≤ Н1.
10. Одузмите површину (2 × 10А + Б) × Б од укупне површине. То даје површину С- (10А + Б) ² коју још увек нисте узели у обзир (и коју користите за израчунавање следећих бројева на исти начин).
11. Да бисте израчунали следећу цифру Ц, поновите поступак. Преместите следећи пар бројева од С надоле (С_ц) да бисте добили Н2 лево и потражите највећи Ц тако да сада имате: (2 × 10 × (10А + Б) + Ц) × Ц ≤ Н2 (једнако двоструком двоцифреном броју „АБ“, а затим до „_ × _ =“ Сада одредите највећи број који овде можете унети, што ће вам дати одговор који је мањи или једнак Н2.

Савети

• Померањем зареза за два места (фактор 100) помера се зарез у одговарајућем квадратном корену за једно место (фактор 10).
• У примеру, 1,73 се може сматрати „остатком“: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Ова метода ради за било који систем бројева, а не само за децимални (децимални) систем.
• Слободно сместите прорачуне где желите. Неки га записују изнад броја за који желе да израчунају квадратни корен.
• Алтернативни метод је следећи: √з = √ (к ^ 2 + и) = к + и / (2к + и / (2к + и / (2к + ...))). На пример, да бисте израчунали квадратни корен од 780,14, узмите цео број чији је квадрат најближи 780,14 (28), дакле = 780,14, к = 28 и и = -3,86. Попуњавањем и проценом добијамо к + и / (2к) и ово даје (поједностављени термини) 78207/2800 или око 27.931 (1); следећи термин, 4374188/156607 или око 27.930986 (5). Сваки појам додаје приближно 3 децимална места прецизности претходном.

Упозорења

• Обавезно поделите број на парове од децималне тачке. Дељење 79520789182.47897 као "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "даје нетачан резултат.