Садржај

• Кораци
• 1. део од 4: Како написати једначину
• 2. део од 4: Како написати Еуклидов алгоритам
• 3. део од 4: Како пронаћи решење помоћу Еуклидовог алгоритма
• 4. део од 4: Пронађите бесконачна друга решења

Да бисте решили линеарну Диофантову једначину, морате пронаћи вредности променљивих "к" и "и", које су цели бројеви. Целобројно решење је сложеније него обично и захтева одређени скуп радњи. Прво морате израчунати највећи заједнички делилац (ГЦД) коефицијената, а затим пронаћи решење. Након што пронађете једно целобројно решење линеарне једначине, можете користити једноставан образац да пронађете бесконачан број других решења.

Кораци

1. део од 4: Како написати једначину

1. 1 Запишите једначину у стандардном облику. Линеарна једначина је једначина у којој експоненти променљивих не прелазе 1. Да бисте решили такву линеарну једначину, прво је напишите у стандардном облику. Стандардни облик линеарне једначине изгледа овако: ${ дисплаистиле Ак + Би = Ц}$, где ${ дисплаистиле А, Б}$ и ${ дисплаистиле Ц}$ - цели бројеви.
   • Ако је једначина дата у другом облику, доведите је у стандардни облик помоћу основних алгебарских операција. На пример, с обзиром на једначину ${ дисплаистиле 23к + 4и -7к = -3и + 15}$... Дајте сличне појмове и једначину напишите овако: ${ дисплаистиле 16к + 7и = 15}$.
2. 2 Поједноставите једначину (ако је могуће). Када једначину напишете у стандардном облику, погледајте коефицијенте ${ дисплаистиле А, Б}$ и ${ дисплаистиле Ц}$... Ако ове квоте имају ГЦД, поделите све три квоте са њим. Решење тако поједностављене једначине биће и решење оригиналне једначине.
   • На пример, ако су сва три коефицијента парна, поделите их са најмање 2. На пример:
     • ${ дисплаистиле 42к + 36и = 48}$ (сви чланови су дељиви са 2)
     • ${ дисплаистиле 21к + 18и = 24}$ (сада су сви чланови дељиви са 3)
     • ${ дисплаистиле 7к + 6и = 8}$ (ова једначина се више не може поједноставити)
3. 3 Проверите да ли се једначина може решити. У неким случајевима можете одмах констатовати да једначина нема решења. Ако коефицијент "Ц" није дељив са ГЦД коефицијената "А" и "Б", једначина нема решења.
   • На пример, ако оба коефицијента ${ дисплаистиле А}$ и ${ дисплаистиле Б}$ су парни, онда је коефицијент ${ дисплаистиле Ц}$ мора бити равномерно. Али ако ${ дисплаистиле Ц}$ чудно, онда нема решења.
     • Једначина ${ дисплаистиле 2к + 4и = 21}$ нема целобројних решења.
     • Једначина ${ дисплаистиле 5к + 10и = 17}$ нема целобројних решења пошто је лева страна једначине дељива са 5, а десна није.

2. део од 4: Како написати Еуклидов алгоритам

1. 1 Разумети Еуклидов алгоритам. То је низ поновљених дељења у којима се претходни остатак користи као следећи делилац. Последњи делилац који дели бројеве интегрално је највећи заједнички делилац (ГЦД) два броја.
   • На пример, пронађимо ГЦД бројева 272 и 36 користећи Еуклидов алгоритам:
     • ${ дисплаистиле 272 = 7 * 36 + 20}$ - Поделите већи број (272) на мањи (36) и обратите пажњу на остатак (20);
     • ${ дисплаистиле 36 = 1 * 20 + 16}$ - поделити претходни делилац (36) са претходним остатком (20). Забележите нови остатак (16);
     • ${ дисплаистиле 20 = 1 * 16 + 4}$ - претходни делилац (20) поделимо са претходним остатком (16). Забележите нови остатак (4);
     • ${ дисплаистиле 16 = 4 * 4 + 0}$ - Поделите претходни делилац (16) са претходним остатком (4). Пошто је остатак 0, можемо рећи да је 4 ГЦД оригинална два броја 272 и 36.
2. 2 Примијенити Еуклидов алгоритам на коефицијенте "А" и "Б". Када линеарну једначину напишете у стандардном облику, одредите коефицијенте "А" и "Б", а затим примените Еуклидов алгоритам на њих да бисте пронашли ГЦД. На пример, дата линеарна једначина ${ дисплаистиле 87к-64и = 3}$.
   • Ево Еуклидовог алгоритма за коефицијенте А = 87 и Б = 64:
     • ${ дисплаистиле 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ дисплаистиле 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ дисплаистиле 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ дисплаистиле 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ дисплаистиле 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ дисплаистиле 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ дисплаистиле 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Пронађите највећи заједнички фактор (ГЦД). Пошто је последњи делилац 1, ГЦД 87 и 64 су 1. Дакле, 87 и 64 су прости бројеви један према другом.
4. 4 Анализирајте резултат. Када пронађете гцд коефицијенте ${ дисплаистиле А}$ и ${ дисплаистиле Б}$, упоредите са коефицијентом ${ дисплаистиле Ц}$ оригинална једначина. Ако ${ дисплаистиле Ц}$ дељиво са гцд ${ дисплаистиле А}$ и ${ дисплаистиле Б}$, једначина има целобројно решење; у супротном једначина нема решења.
   • На пример, једначина ${ дисплаистиле 87к-64и = 3}$ може се решити јер је 3 дељиво са 1 (гцд = 1).
   • На пример, претпоставимо да је ГЦД = 5. 3 није равномерно дељиво са 5, па ова једначина нема целобројна решења.
   • Као што је доле приказано, ако једначина има једно целобројно решење, она такође има бесконачан број других целобројних решења.

3. део од 4: Како пронаћи решење помоћу Еуклидовог алгоритма

1. 1 Нумеришите кораке за израчунавање ГЦД -а. Да бисте пронашли решење линеарне једначине, морате користити Еуклидов алгоритам као основу за процес замене и поједностављења.
   • Почните нумерисањем корака за израчунавање ГЦД -а. Процес израчунавања изгледа овако:
     • ${ дисплаистиле { тект {Корак 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ дисплаистиле { тект {Корак 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ дисплаистиле { тект {Корак 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ дисплаистиле { тект {Корак 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ дисплаистиле { тект {Корак 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ дисплаистиле { тект {Корак 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ дисплаистиле { тект {Корак 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Обратите пажњу на последњи корак, где постоји остатак. Препишите једначину за овај корак да бисте изоловали остатак.
   • У нашем примеру, последњи корак са остатком је корак 6. Остатак је 1. Препишите једначину у кораку 6 на следећи начин:
     • ${ дисплаистиле 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Изолирајте остатак претходног корака. Овај процес је корак по корак „померање нагоре“. Сваки пут ћете изоловати остатак у једначини у претходном кораку.
   • Изолирајте остатак једначине у кораку 5:
     • ${ дисплаистиле 2 = 5- (1 * 3)}$ или ${ дисплаистиле 2 = 5-3}$
4. 4 Замените и поједноставите. Уочите да једначина у кораку 6 садржи број 2, а у једначини у кораку 5 број 2 је изолован. Дакле, уместо „2“ у једначини у кораку 6, замените израз у кораку 5:
   • ${ дисплаистиле 1 = 3-2}$ (једначина корака 6)
   • ${ дисплаистиле 1 = 3- (5-3)}$ (уместо 2, израз је замењен)
   • ${ дисплаистиле 1 = 3-5 + 3}$ (отворене заграде)
   • ${ дисплаистиле 1 = 2 (3) -5}$ (поједностављено)
5. 5 Поновите поступак замене и поједностављења. Поновите описани процес крећући се кроз еуклидски алгоритам обрнутим редоследом. Сваки пут ћете преписати једначину из претходног корака и укључити је у последњу једначину коју добијете.
   • Последњи корак који смо погледали био је корак 5. Па идите на корак 4 и изолујте остатак у једначини за тај корак:
     • ${ дисплаистиле 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Замените овај израз за "3" у последњој једначини:
     • ${ дисплаистиле 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ дисплаистиле 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ дисплаистиле 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Наставите са процесом замене и поједностављења. Овај процес ће се понављати док не дођете до почетног корака еуклидског алгоритма. Циљ процеса је писање једначине са коефицијентима 87 и 64 оригиналне једначине коју треба решити. У нашем примеру:
   • ${ дисплаистиле 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ дисплаистиле 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (заменио израз из корака 3)
     • ${ дисплаистиле 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ дисплаистиле 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ дисплаистиле 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (заменио израз из корака 2)
     • ${ дисплаистиле 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ дисплаистиле 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ дисплаистиле 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (заменио израз из корака 1)
     • ${ дисплаистиле 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ дисплаистиле 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Препишите добијену једначину у складу са оригиналним коефицијентима. Када се вратите на први корак еуклидског алгоритма, видећете да резултујућа једначина садржи два коефицијента оригиналне једначине. Препишите једначину тако да редослед њених чланова одговара коефицијентима оригиналне једначине.
   • У нашем примеру, оригинална једначина ${ дисплаистиле 87к-64и = 3}$... Стога препишите добијену једначину тако да се коефицијенти доведу у ред.Посебно обратите пажњу на коефицијент "64". У првобитној једначини овај коефицијент је негативан, а у еуклидском алгоритму позитиван. Стога се фактор 34 мора учинити негативним. Коначна једначина ће бити написана овако:
     • ${ дисплаистиле 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Примените одговарајући мултипликатор да бисте пронашли решење. Имајте на уму да је у нашем примеру ГЦД = 1, па је коначна једначина 1. Али оригинална једначина (87к-64и) је 3. Због тога се сви чланови у завршној једначини морају помножити са 3 да би се добило решење:
   • ${ дисплаистиле 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ дисплаистиле 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Запишите целокупно решење једначине. Бројеви који се множе са коефицијентима изворне једначине решења су те једначине.
   • У нашем примеру решење запишите као пар координата: ${ дисплаистиле (к, и) = ( - 75, -102)}$.

4. део од 4: Пронађите бесконачна друга решења

1. 1 Схватите да постоји бесконачан број решења. Ако линеарна једначина има једно целобројно решење, онда мора имати бесконачно много целобројних решења. Ево кратког доказа (у алгебарском облику):
   • ${ дисплаистиле Ак + Би = Ц}$
   • ${ дисплаистиле А (к + Б) + Б (и-А) = Ц}$ (ако додате "Б" у "к" и одузмете "А" од "и", вредност оригиналне једначине се неће променити)
2. 2 Снимите оригиналне вредности к и и. Предложак за израчунавање следећих (бесконачних) решења почиње јединим решењем које сте већ пронашли.
   • У нашем примеру решење је пар координата ${ дисплаистиле (к, и) = ( - 75, -102)}$.
3. 3 Додајте фактор "Б" вредности "к". Учините то да бисте пронашли нову вредност к.
   • У нашем примеру, к = -75, и Б = -64:
     • ${ дисплаистиле к = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • Дакле, нова вредност "к": к = -139.
4. 4 Одузмите фактор "А" од вредности "и". Тако да се вредност оригиналне једначине не мења, при додавању једног броја у „к“ потребно је од „и“ одузети други број.
   • У нашем примеру, и = -102, и А = 87:
     • ${ дисплаистиле и = -102-87 = -189}$
   • Дакле, нова вредност за "и": и = -189.
   • Нови пар координата ће бити написан овако: ${ дисплаистиле (к, и) = ( - 139, -189)}$.
5. 5 Проверите решење. Да бисте потврдили да је нови пар координата решење оригиналне једначине, укључите вредности у једначину.
   • ${ дисплаистиле 87к-64и = 3}$
   • ${ дисплаистиле 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ дисплаистиле 3 = 3}$
   • Пошто је једнакост испуњена, одлука је исправна.
6. 6 Запишите изразе да бисте пронашли многа решења. Вредности "к" ће бити једнаке оригиналном решењу плус било који вишекратник фактора "Б". Ово се може написати као следећи израз:
   • к (к) = к + к (Б), где је „к (к)“ скуп вредности „к“, а „к“ је оригинална (прва) вредност „к“ коју сте пронашли.
     • У нашем примеру:
     • ${ дисплаистиле к (к) = - 75-64к}$
   • и (к) = и-к (А), где је и (к) скуп вредности и, а и оригинална (прва) вредност и коју сте пронашли.
     • У нашем примеру:
     • ${ дисплаистиле и (к) = - 102-87к}$