Садржај

• Кораци
• Део 1 од 3: Факторизирање бинома
• 2. део 3: Факторисање бинома за решавање једначина
• 3. део 3: Решавање сложених проблема
• Савјети
• Упозорења

Бином (бином) је математички израз са два појма између којих постоји знак плус или минус, на пример, ${ дисплаистиле ак + б}$... Први члан укључује променљиву, а други укључује или не укључује њу. Факторисање бинома укључује проналажење појмова који, када се множе, производе оригинални бином како би га решили или поједноставили.

Кораци

Део 1 од 3: Факторизирање бинома

1. 1 Схватите основе процеса факторинга. Приликом факторисања бинома из заграде се извлачи фактор који је делитељ сваког члана оригиналног бинома. На пример, број 6 је потпуно дељив са 1, 2, 3, 6. Дакле, делитељи броја 6 су бројеви 1, 2, 3, 6.
   • Делиоци 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Делитељи било ког броја су 1 и сам број. На пример, делитељи 3 су 1 и 3.
   • Целобројни делитељи могу бити само цели бројеви. Број 32 се може поделити са 3.564 или 21.4952, али не добијате цео број, већ децимални разломак.
2. 2 Наручите услове бинома да бисте олакшали процес факторинга. Бином је збир или разлика два појма, од којих најмање један садржи променљиву. Понекад се променљиве подижу на степен, на пример, ${ дисплаистиле к ^ {2}}$ или ${ дисплаистиле 5и ^ {4}}$... Боље је чланове бинома поредати по узлазном редоследу експонената, односно први се исписује израз са најмањим експонентом, а са највећим - последњи. На пример:
   • ${ дисплаистиле 3т + 6}$ → ${ дисплаистиле 6 + 3т}$
   • ${ дисплаистиле 3к ^ {4} + 9к ^ {2}}$ → ${ дисплаистиле 9к ^ {2} + 3к ^ {4}}$
   • ${ дисплаистиле к ^ {2} -2}$ → ${ дисплаистиле -2 + к ^ {2}}$
     • Уочите знак минус испред 2. Ако се одузме појам, напишите испред њега знак минус.
3. 3 Пронађи највећи заједнички делилац (ГЦД) оба појма. ГЦД је највећи број којим су оба члана бинома дјељива. Да бисте то урадили, пронађите делитеље сваког члана у биному, а затим изаберите највећи заједнички делилац. На пример:
   • Задатак:${ дисплаистиле 3т + 6}$.
     • Делиоци 3: 1, 3
     • Делиоци 6: 1, 2, 3, 6.
     • ГЦД = 3.
4. 4 Сваки члан у биному подијелите највећим заједничким дјелитељем (ГЦД). Учините то да бисте искључили ГЦД. Имајте на уму да се сваки члан бинома смањује (јер је дељив), али ако је ГЦД искључен из заграде, крајњи израз ће бити једнак оригиналном.
   • Задатак:${ дисплаистиле 3т + 6}$.
   • Пронађите ГЦД: 3
   • Поделите сваки биномски члан са гцд:${ дисплаистиле { фрац {3т} {3}} + { фрац {6} {3}} = т + 2}$
5. 5 Померите делилац изван заграда. Раније сте поделили оба члана бинома делитељем 3 и добили сте ${ дисплаистиле т + 2}$... Али не можете се ослободити 3 - да би вредности почетног и завршног израза биле једнаке, потребно је да ставите 3 изван заграда, а израз добијен као резултат дељења запишите у заграде. На пример:
   • Задатак:${ дисплаистиле 3т + 6}$.
   • Пронађите ГЦД: 3
   • Поделите сваки биномски члан са гцд:${ дисплаистиле { фрац {3т} {3}} + { фрац {6} {3}} = т + 2}$
   • Помножите делилац добијеним изразом:${ дисплаистиле 3 (т + 2)}$
   • Одговор: ${ дисплаистиле 3 (т + 2)}$
6. 6 Проверите одговор. Да бисте то урадили, помножите израз испред заграда са сваким изразом унутар заграда. Ако добијете оригинални бином, решење је тачно. Сада решите проблем ${ дисплаистиле 12т + 18}$:
   • Наредите члановима:${ дисплаистиле 18 + 12т}$
   • Пронађите ГЦД:${ дисплаистиле 6}$
   • Поделите сваки биномски члан са гцд:${ дисплаистиле { фрац {18т} {6}} + { фрац {12т} {6}} = 3 + 2т}$
   • Помножите делилац добијеним изразом:${ дисплаистиле 6 (3 + 2т)}$
   • Проверите одговор:${ дисплаистиле (6 * 3) + (6 * 2т) = 18 + 12т}$

2. део 3: Факторисање бинома за решавање једначина

1. 1 Факторујте бином да бисте га поједноставили и решили једначину. На први поглед, чини се да је немогуће решити неке једначине (посебно са сложеним биномима). На пример, решите једначину ${ дисплаистиле 5и -2и ^ {2} = - 3и}$... У овој једначини постоје моћи, па прво узмите у обзир израз.
   • Задатак:${ дисплаистиле 5и -2и ^ {2} = - 3и}$
   • Запамтите да бином има два члана. Ако израз укључује више појмова, научите како да решите полиноме.
2. 2 Додајте или одузмите неки моном на обе стране једначине тако да нула остане на једној страни једначине. У случају факторисања, решење једначина се заснива на непроменљивој чињеници да је сваки израз помножен са нулом једнак нули. Стога, ако једначину изједначимо са нулом, тада било који њен фактор мора бити једнак нули. Поставите једну страну једначине на 0.
   • Задатак:${ дисплаистиле 5и -2и ^ {2} = - 3и}$
   • Подеси на нулу:${ дисплаистиле 5и -2и ^ {2} + 3и = -3и + 3и}$
     • ${ дисплаистиле 8и-2и ^ {2} = 0}$
3. 3 Добијену канту узмите у фактор. Учините то како је описано у претходном одељку. Пронађите највећи заједнички фактор (ГЦД), поделите оба члана бинома њиме, а затим фактор померите из заграда.
   • Задатак:${ дисплаистиле 5и -2и ^ {2} = - 3и}$
   • Подеси на нулу:${ дисплаистиле 8и-2и ^ {2} = 0}$
   • Фактор:${ дисплаистиле 2и (4-и) = 0}$
4. 4 Сваки фактор поставите на нулу. У резултујућем изразу 2и се множи са 4 - и, а овај производ је једнак нули. Пошто је сваки израз (или појам) помножен са нулом нула, тада је 2и или 4 - и 0. Подесите резултујући моном и бином на нулу да бисте пронашли "и".
   • Задатак:${ дисплаистиле 5и -2и ^ {2} = - 3и}$
   • Подеси на нулу:${ дисплаистиле 8и-2и ^ {2} + 3и = 0}$
   • Фактор:${ дисплаистиле 2и (4-и) = 0}$
   • Оба фактора поставите на 0:
     • ${ дисплаистиле 2и = 0}$
     • ${ дисплаистиле 4-и = 0}$
5. 5 Решите настале једначине да бисте пронашли коначан одговор (или одговоре). Пошто је сваки фактор једнак нули, једначина може имати више решења. У нашем примеру:
   • ${ дисплаистиле 2и = 0}$
     • ${ дисплаистиле { фрац {2и} {2}} = { фрац {0} {2}}}$
     • и = 0
   • ${ дисплаистиле 4-и = 0}$
     • ${ дисплаистиле 4-и + и = 0 + и}$
     • и = 4
6. 6 Проверите одговор. Да бисте то урадили, замените пронађене вредности у оригиналну једначину. Ако је једнакост тачна, онда је одлука исправна. Замените пронађене вредности уместо "и". У нашем примеру, и = 0 и и = 4:
   • ${ дисплаистиле 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ дисплаистиле 0 + 0 = 0}$
     • ${ дисплаистиле 0 = 0}$Ово је права одлука
   • ${ дисплаистиле 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ дисплаистиле 20-32 = -12}$
     • ${ дисплаистиле -12 = -12}$И ово је права одлука

3. део 3: Решавање сложених проблема

1. 1 Запамтите да се израз са променљивом такође може факторисати, чак и ако је променљива подигнута на степен. Приликом факторинга морате пронаћи моном који дели сваки члан бинома интегрално. На пример, мономски ${ дисплаистиле к ^ {4}}$ може се факторисати ${ дисплаистиле к * к * к * к}$... То јест, ако и други члан бинома садржи променљиву „к“, онда се „к“ може извадити из заграда. Према томе, променљиве третирајте као целе бројеве. На пример:
   • Оба члана бинома ${ дисплаистиле 2т + т ^ {2}}$ садрже "т", па се "т" може извући из заграда: ${ дисплаистиле т (2 + т)}$
   • Такође, променљива подигнута на степен може се извадити из заграде. На пример, оба члана бинома ${ дисплаистиле к ^ {2} + к ^ {4}}$ садржати ${ дисплаистиле к ^ {2}}$, тако ${ дисплаистиле к ^ {2}}$ могу се извадити из заграде: ${ дисплаистиле к ^ {2} (1 + к ^ {2})}$
2. 2 Додајте или одузмите сличне чланове да бисте добили бином. На пример, с обзиром на израз ${ дисплаистиле 6 + 2к + 14 + 3к}$... На први поглед, ово је полином, али у ствари, овај израз се може претворити у бином. Додајте сличне појмове: 6 и 14 (не садрже променљиву) и 2к и 3к (садрже исту променљиву "к"). У овом случају, процес факторинга ће бити поједностављен:
   • Оригинални израз:${ дисплаистиле 6 + 2к + 14 + 3к}$
   • Наредите члановима:${ дисплаистиле 2к + 3к + 14 + 6}$
   • Додајте сличне термине:${ дисплаистиле 5к + 20}$
   • Пронађите ГЦД:${ дисплаистиле 5 (к) +5 (4)}$
   • Фактор:${ дисплаистиле 5 (к + 4)}$
3. 3 Узмите у обзир разлику савршених квадрата. Савршен квадрат је број чији је квадратни корен цео број, на пример ${ дисплаистиле 9}$${ дисплаистиле (3 * 3)}$, ${ дисплаистиле к ^ {2}}$${ дисплаистиле (к * к)}$ и чак ${ дисплаистиле 144т ^ {2}}$${ дисплаистиле (12т * 12т)}$... Ако је бином разлика савршених квадрата, на пример, ${ дисплаистиле а ^ {2} -б ^ {2}}$, онда се факторује по формули:
   • Формула за разлику квадрата:${ дисплаистиле а ^ {2} -б ^ {2} = (а + б) (а -б)}$
   • Задатак:${ дисплаистиле 4к ^ {2} -9}$
   • Издвојите квадратне корене:
     • ${ дисплаистиле { скрт {4к ^ {2}}} = 2к}$
     • ${ дисплаистиле { скрт {9}} = 3}$
   • Замените пронађене вредности у формулу: ${ дисплаистиле 4к ^ {2} -9 = (2к + 3) (2к -3)}$
4. 4 Учините разлику између потпуних коцки. Ако је бином разлика потпуних коцки, на пример, ${ дисплаистиле а ^ {3} -б ^ {3}}$, онда се факторизира помоћу посебне формуле. У овом случају, потребно је издвојити корен коцке из сваког члана бинома, а пронађене вредности заменити у формулу.
   • Формула за разлику између коцки:${ дисплаистиле а ^ {3} -б ^ {3} = (а -б) (а ^ {2} + аб + б ^ {2})}$
   • Задатак:${ дисплаистиле 8к ^ {3} -27}$
   • Издвојите кубичне корене:
     • ${ дисплаистиле { скрт [{3}] {8к ^ {3}}} = 2к}$
     • ${ дисплаистиле { скрт [{3}] {27}} = 3}$
   • Замените пронађене вредности у формулу: ${ дисплаистиле 8к ^ {3} -27 = (2к -3) (4к ^ {2} + 6к + 9)}$
5. 5 Факторкујте збир пуних коцки. За разлику од збира савршених квадрата, збир потпуних коцки, на пример, ${ дисплаистиле а ^ {3} + б ^ {3}}$, може се факторисати помоћу посебне формуле. Слично је формули за разлику између коцки, али су знакови обрнути. Формула је прилично једноставна - да бисте је користили, пронађите збир пуних коцкица у проблему.
   • Формула за збир коцкица:${ дисплаистиле а ^ {3} + б ^ {3} = (а + б) (а ^ {2} -аб + б ^ {2})}$
   • Задатак:${ дисплаистиле 8к ^ {3} -27}$
   • Издвојите кубичне корене:
     • ${ дисплаистиле { скрт [{3}] {8к ^ {3}}} = 2к}$
     • ${ дисплаистиле { скрт [{3}] {27}} = 3}$
   • Замените пронађене вредности у формулу: ${ дисплаистиле 8к ^ {3} -27 = (2к + 3) (4к ^ {2} -6к + 9)}$

Савјети

• Понекад биномски чланови немају заједнички делилац. У неким задацима чланови су представљени у поједностављеном облику.
• Ако не можете одмах пронаћи ГЦД, почните дељењем малим бројевима. На пример, ако не видите да је ГЦД бројева 32 и 16 16, поделите оба броја са 2. Добићете 16 и 8; ови бројеви се могу поделити са 8. Сада добијате 2 и 1; ови бројеви се не могу смањити. Дакле, очигледно је да постоји већи број (у поређењу са 8 и 2), што је заједнички делилац два дата броја.
• Имајте на уму да су чланови шестог реда (са експонентом 6, на пример к) и савршени квадрати и савршене коцке. Тако се на биноме са члановима шестог реда, на пример, к - 64, могу применити (било којим редоследом) формуле за разлику квадрата и разлику коцки. Али боље је прво применити формулу за разлику квадрата како би се исправније разградило помоћу бинома.

Упозорења

• Бином, који је збир савршених квадрата, не може се факторисати.