Садржај

• Кораци
• 1. део 2: Проналажење основних фактора
• 2. део 2: Коришћење основних фактора
• Примери задатака
• Савјети
• Упозорења

Било који природни број може се разложити на производ простих фактора. Ако не волите да се бавите великим бројевима попут 5733, научите како да их рашчланите (у овом случају 3 к 3 к 7 к 7 к 13). Сличан задатак се често сусреће у криптографији, која се бави проблемима безбедности информација. Ако још нисте спремни за изградњу сопственог сигурног система е -поште, прво научите како да рачунате бројеве.

Кораци

1. део 2: Проналажење основних фактора

1. 1 Научите шта је факторинг. Разлагање броја на производ фактора је процес његовог „цепања“ на мање делове.Када се множе, ови делови или чиниоци дају оригинални број.
   • На пример, број 18 се може разложити на следеће производе: 1 к 18, 2 к 9 или 3 к 6.
2. 2 Запамтите шта су прости бројеви. Прости број је дељив са само два броја без остатка: сам по себи и са 1. На пример, број 5 се може представити као производ 5 и 1. Овај број се не може разложити на друге чиниоце. Сврха факторинга броја у просте факторе је да га представи као производ простих бројева. Ово је посебно корисно када се бавите разломацима, јер вам омогућава да их упоредите и поједноставите.
3. 3 Почните са оригиналним бројем. Одаберите сложени број већи од 3. Нема смисла узимати прост број, јер је дељив само са собом и јединицом.
   • Пример: Хајде да рашчланимо број 24 на производ простих бројева.
4. 4 Поделимо овај број на производ два фактора. Пронађи два мања броја чији је производ једнак оригиналном броју. Може се користити било који фактор, али је лакше узети просте бројеве. Један од добрих начина је да прво покушате првобитни број поделити са 2, затим са 3, па са 5 и проверити који од ових простих бројева дели без остатка.
   • Пример: Ако не знате факторе за 24, покушајте да га поделите на мале просте бројеве. Тако ћете открити да је дати број дељив са 2: 24 = 2 к 12... Ово је добар почетак.
   • Пошто је 2 прост број, добро га је користити при факторисању парних бројева.
5. 5 Почните са изградњом стабла множитеља. Ова једноставна процедура ће вам помоћи да направите фактор. За почетак нацртајте две "гране" надоле од оригиналног броја. На крају сваке гране напишите пронађене факторе.
   • Пример:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Факторикујте следећи ред бројева. Погледајте два нова броја (други ред стабла множитеља). Да ли су обојица прости бројеви? Ако један од њих није једноставан, узмите га у обзир и помоћу два фактора. Направите још две гране и упишите два нова фактора у трећи ред стабла.
   • Пример: 12 није прост број, па га треба факторисати. Користите декомпозицију 12 = 2 к 6 и упишите је у трећи ред стабла:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 к 6
7. 7 Наставите низ дрво. Ако се испостави да је један од нових фактора прост број, извуците из њега једну "грану" и напишите исти број на његовом крају. Прости бројеви се не могу проширити на мање факторе, па их само померите на нижи ниво.
   • Пример: 2 је просто. Само померите 2 из другог у трећи ред:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Наставите са факторисањем бројева све док вам не остану само прости бројеви. Проверите сваку нову линију стабла. Ако барем један од нових фактора није прост број, факторујте га и напишите нови ред. На крају ће вам остати само прости бројеви.
   • Пример: 6 није прост број, па га треба и факторисати. У исто време, 2 је прост број, а два два преносимо на следећи ниво:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Напишите последњи ред као производ основних чинилаца. На крају ће вам остати само прости бројеви. Када се то догоди, основна факторизација је завршена. Последњи ред је скуп простих бројева, чији производ даје оригинални број.
   • Проверите свој одговор: помножите бројеве у последњем реду. Резултат би требао бити оригинални број.
   • Пример: Последњи ред стабла фактора садржи бројеве 2 и 3. Оба ова броја су проста, па је декомпозиција потпуна. Дакле, проста факторизација броја 24 има следећи облик: 24 = 2 к 2 к 2 к 3.
   • Редослед фактора није битан. Разлагање се такође може написати као 2 к 3 к 2 к 2.
10. 10 Поједноставите свој одговор ако желите, користећи експоненцијалну нотацију. Ако сте упознати са степеновањем бројева, одговор можете написати у једноставнијем облику.Запамтите да је основа написана при дну, а горњи број означава колико пута ову базу треба помножити саму себе.
    • Пример: колико пута се број 2 јавља у пронађеној декомпозицији 2 к 2 к 2 к 3? Три пута, па се израз 2 к 2 к 2 може написати као 2. У поједностављеном запису добијамо 2 к 3.

2. део 2: Коришћење основних фактора

1. 1 Пронађи највећи заједнички делилац два броја. Највећи заједнички делилац (ГЦД) два броја је највећи број којим су оба броја дељива без остатка. Доњи пример показује како се помоћу основне факторизације проналази највећи заједнички делилац од 30 и 36.
   • Факторирајмо оба броја у просте факторе. За 30, факторизација је 2 к 3 к 5. Број 36 се разлаже на просте факторе на следећи начин: 2 к 2 к 3 к 3.
   • Хајде да пронађемо број који се јавља у оба проширења. Прецртајмо овај број на обе листе и упишемо га у нови ред. На пример, 2 се јавља у два проширења, па пишемо 2 на новој линији. Након тога имамо 30 = 2 к 3 к 5 и 36 = 2 к 2 к 3 к 3.
   • Понављајте овај корак све док у проширењима не остану заједнички фактори. Обе листе садрже и број 3, тако да на новом реду можете писати 2 и 3... Затим поново упоредите проширења: 30 = 2 к 3 к 5 и 36 = 2 к 2 к 3 к 3. Као што видите, у њима нема заједничких фактора.
   • Да бисте пронашли највећи заједнички фактор, пронађите производ свих заједничких фактора. У нашем примеру, ово су 2 и 3, па је гцд 2 к 3 = 6... Ово је највећи број који равномерно дели бројеве 30 и 36.
2. 2 Уз помоћ ГЦД -а, можете поједноставити разломке. Ако сумњате да се разломак може поништити, користите највећи заједнички фактор. Пронађите ГЦД бројника и називника користећи горњи поступак. Затим поделите бројник и називник разломка на тај број. Као резултат тога, добијате исти разломак у једноставнијем облику.
   • На пример, поједноставимо разломак /₃₆... Као што смо горе навели, за 30 и 36, ГЦД је 6, па делимо бројник и називник са 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Пронађи најмањи заједнички вишекратник два броја. Најмањи заједнички вишекратник (ЛЦМ) два броја је најмањи број који је подједнако дељив са оба броја. На пример, ЛЦМ од 2 и 3 је 6 јер је то најмањи број који може бити дељив са 2 и 3. Испод је пример проналажења ЛЦМ -а применом основне факторизације:
   • Почнимо са две основне факторизације. На пример, за 126, факторисање се може написати као 2 к 3 к 3 к 7. Број 84 се може разложити на просте факторе као 2 к 2 к 3 к 7.
   • Хајде да упоредимо колико се пута сваки фактор јавља у проширењима. Изаберите листу на којој се множилац појављује максимални број пута и заокружите ово место. На пример, број 2 се појављује једном у проширењу за 126 и два пута на листи за 84, па би требало да заокружите 2 к 2 на другој листи фактора.
   • Поновите овај корак за сваки мултипликатор. На пример, 3 је чешће у првом проширењу, па бисте требали заокружити у њему 3 к 3... Број 7 се једном појављује на обе листе, па заокружујемо 7 (није важно на којој листи, ако се дати фактор појави на обе листе исти број пута).
   • Да бисте пронашли ЛЦМ, помножите све заокружене бројеве. У нашем примеру, најмањи заједнички вишекратник од 126 и 84 је 2 к 2 к 3 к 3 к 7 = 252... Ово је најмањи број који је дељив са 126 и 84 без остатка.
4. 4 За додавање разломака користите ЛЦМ. Приликом сабирања два разломка потребно их је довести у заједнички називник. Да бисте то урадили, пронађите ЛЦМ два именитеља. Затим помножите бројник и називник сваког разломка таквим бројем да су називници разломака једнаки ЛЦМ -у. Након тога можете додати разломке.
   • На пример, морате пронаћи износ /₆ + /₂₁.
   • Користећи горњу методу, можете пронаћи ЛЦМ за 6 и 21. То је 42.
   • Претварамо разломак /₆ тако да његов називник буде 42. Да бисте то урадили, потребно је да поделите 42 са 6: 42 ÷ 6 = 7. Сада помножите бројник и називник разломка са 7: /₆ Икс /₇ = /₄₂.
   • Да бисте други разломак довели у називник 42, поделите 42 са 21: 42 ÷ 21 = 2. Помножите бројник и називник разломка са 2: /₂₁ Икс /₂ = /₄₂.
   • Након што се разломци сведу на исти називник, могу се лако додати: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Примери задатака

• Покушајте сами да решите проблеме испод.Ако мислите да сте добили тачан одговор, означите мишем место иза двотачке у изјави о проблему. Потоњи задаци су најтежи.
• Нађи основну факторизацију за 16: 2 к 2 к 2 к 2
• Одговор напишите у експоненцијалној форми: 2
• Нађи основну факторизацију 45: 3 к 3 к 5
• Одговор напишите у експоненцијалном облику: 3 к 5
• Нађи основну факторизацију за 34: 2 к 17
• Нађи основну факторизацију 154: 2 к 7 к 11
• Нађите просту факторизацију за 8 и 40, а затим одредите њихов највећи заједнички фактор: проста факторизација за 8 је 2 к 2 к 2 к 2; основна факторизација од 40 је 2 к 2 к 2 к 5; ГЦД два броја 2 к 2 к 2 = 6.
• Нађите прост факторизацију за 18 и 52 и нађите њихов најмањи заједнички вишекратник: Проста факторизација за 18 је 2 к 3 к 3; основна факторизација од 52 је 2 к 2 к 13; ЛЦМ два броја је 2 к 2 к 3 к 3 к 13 = 468.

Савјети

• Сваки број има своју јединствену факторизацију. Није важно како ћете пронаћи ово проширење, требало би да добијете исти одговор. Ово се назива основном теоремом аритметике.
• Уместо да сваки пут преписујете просте бројеве у нову линију стабла фактора, можете их оставити на месту и једноставно заокружити. На крају проширења, она ће укључивати све заокружене основне факторе.
• Увек проверите одговор који добијете. Можете направити грешку, а да је не приметите.
• Спремите се за незгодне мисије. Ако се од вас тражи да пронађете прост факторизацију простог броја, нема потребе за било каквим прорачунима. На пример, за број 17, проста факторизација је 17; овај број се не може разложити на друге просте факторе.
• Највећи заједнички фактор и најмањи заједнички вишекратник могу се пронаћи за три или више бројева.

Упозорења

• Стабло множитеља вам омогућава да одредите само основне факторе, а не све могуће факторе.