Факторске квадратне једначине

Садржај

На корак
Почетак
Метод 1 од 6: Суђење и грешка
Метод 2 од 6: Разлагање
Метод 3 од 6: Трипле Плаи
Метод 4 од 6: Разлика између два квадрата
Метод 5 од 6: АБЦ формула
Метод 6 од 6: Коришћење калкулатора
Савети
Упозорења
Неопходности

Полином садржи променљиву (к) за одређену степен и неколико чланова и / или константи. Да бисте разложили полином, мораћете да раставите израз на мање изразе који се множе заједно. Ово захтева одређени ниво математике и стога може бити тешко разумјети ако још нисте толико далеко.

На корак

Почетак

Једначина. Стандардни формат квадратне једначине је:

ак + бк + ц = 0
Почните тако што ћете у својој једначини распоредити појмове од највеће до најмање снаге. На пример, узмите:

6 + 6к + 13к = 0
Преуредит ћемо овај израз тако да постаје лакше радити с њим - једноставним помицањем термина:

6к + 13к + 6 = 0
Пронађите факторе користећи један од метода у наставку. Факторисање полинома резултираће двама мањим изразима који се могу множити заједно да би се добио оригинални полином:

6к + 13к + 6 = (2к + 3) (3к + 2)
У овом примеру су (2к +3) и (3к + 2) Фактори од оригиналног израза, 6к + 13к + 6.
Проверите свој рад! Помножите факторе које сте пронашли. Комбинујте исте појмове и готови сте. Почети са:

(2к + 3) (3к + 2)
Испробајмо ово, множећи појмове помоћу ЕББЛ (први - спољни - унутрашњи - последњи), који нам даје:

6к + 4к + 9к + 6
Сада сабирамо 4к и 9к заједно јер су једнаки појмови. Знамо да су фактори тачни јер добијамо једначину са којом смо започели:

6к + 13к + 6

Метод 1 од 6: Суђење и грешка

Ако имате прилично једноставан полином, могли бисте одмах видети који су фактори. На пример, након неке праксе, многи математичари могу да виде израз 4к + 4к + 1 има факторе (2к + 1) и (2к + 1) једноставно зато што су ово видели толико пута. (Очигледно, ово неће бити тако лако са сложенијим полиномима.) Узмимо мање стандардни израз за овај пример:

3к + 2к - 8

Запишите факторе а термин и ц појам. Користите формат ак + бк + ц = 0, препознајте а и ц појмове и забележите који фактори постоје. За 3к + 2к - 8 то значи:

а = 3 и има 1 пар фактора: 1 * 3
ц = -8 и ово има 4 пара фактора: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 и -1 * 8.
Запишите два пара заграда са празним размаком. Овде уносите константе сваког израза:

(к) (к)
Испуните простор испред к бројем могућих фактора а вредност. За а Израз у нашем примеру, 3к, постоји само 1 могућност:

(3к) (1к)
Испуните 2 размака после к са неколико фактора за константе. Претпоставимо да одаберемо 8 и 1. Унесите ово:

(3к8)(ИКС1)
Одредите који знакови (плус или минус) треба да буду између к променљивих и бројева. У зависности од знакова оригиналног израза, могуће је сазнати какви би знакови константи требали бити. Узмимо две константе два фактора х и к споменути:

Ако је ак + бк + ц онда (к + х) (к + к)
Ако је ак - бк - ц или ак + бк - ц онда (к - х) (к + к)
Ако је ак - бк + ц онда (к - х) (к - к)
У нашем примеру, 3к + 2к - 8, знак је: (к - х) (к + к), што нам даје следећа два фактора:

(3к + 8) и (к - 1)
Тестирајте свој избор множењем прво-спољашње-унутрашње-последње. Брзи први тест да се утврди да ли је средњи термин бар тачна вредност. Ако не, онда вероватно имате погрешну ц изабрани фактори. Испробајмо одговор:

(3к + 8) (к - 1)
Множењем добијамо:

3к - 3к + 8к - 8
Поједноставите овај израз додавањем сличних појмова (-3к) и (8к) и добићемо:

3к - 3к + 8к - 8 = 3к + 5к - 8
Сада знамо да смо узели погрешне факторе:

3к + 5к - 8 = 3к + 2к - 8
Ако је потребно, промените свој избор. У нашем примеру, пробајмо 2 и 4, уместо 1 и 8:

(3к + 2) (к - 4)
Сада наш ц израз једнак -8, али спољни / унутрашњи умножак (3к * -4) и (2 * к) је -12к и 2к, што није тачно б појам или + 2к.

-12к + 2к = 10к
10к = 2к
Ако је потребно, обрните редослед. Покушајмо да преокренемо 2 и 4:

(3к + 4) (к - 2)
Сада наш ц израз (4 * 2 = 8) и даље је у реду, али спољни / унутрашњи производи су -6к и 4к. Када их комбинујемо добијамо:

-6к + 4к = 2к
2к = -2к Сада се приближавамо 2к тамо где желимо да будемо, али знак још увек није тачан.
По потреби поново проверите своје ликове. Задржавамо овај налог, али заменимо га знаком минус:

(3к - 4) (к + 2)
Сада ц Израз је и даље у реду, а спољни / унутрашњи производи су сада (6к) и (-4к). Јер:

6к - 4к = 2к
2к = 2к Сада видимо позитивне 2к у односу на првобитни проблем. То морају бити прави фактори.

Метод 2 од 6: Разлагање

Ова метода даје све могуће факторе а и ц појмове и помоћу њих открива који су фактори тачни. Ако су бројеви врло велики или ће нагађања других метода трајати предуго, користите овај начин. Пример:

6к + 13к + 6

Помножите а термин са ц појам. У овом примеру, а је 6 и ц је такође 6.

6 * 6 = 36
Пронађи б појам факторизацијом и испитивањем. Тражимо 2 броја која су чиниоци а * ц , и заједно б термин (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Замените два броја која добијете у својој једначини као збир б појам. Омогућава к и х да представимо 2 броја која имамо, 4 и 9:

секира + кк + хк + в
6к + 4к + 9к + 6
Фактор полинома груписањем. Организујте једначину тако да можете раздвојити највећи заједнички делитељ прва два члана и последња два члана. Оба фактора би требала бити иста. Сабрати ГГД-ове и ставити их у заграде, поред фактора; као резултат добијате два фактора:

6к + 4к + 9к + 6
2к (3к + 2) + 3 (3к + 2)
(2к + 3) (3к + 2)

Метод 3 од 6: Трипле Плаи

Слично методи разлагања. Метода „троструке игре“ испитује могуће факторе производа од а и ц и помоћу ње сазнајте шта б мора бити. Узмимо за пример једначину:

8к + 10к + 2

Помножите а термин са ц појам. Као и код методе распадања, и ово користимо за одређивање кандидата за б појам. У овом примеру: а је 8 и ц је 2.

8 * 2 = 16
Нађите 2 броја са овим бројем као производом и са збиром једнаким б појам. Овај корак је исти као и метод разлагања - тестирамо кандидате за константе. Производ производа а и ц услови је 16, а ц термин је 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Узмите ова два броја и замените их у формули „трострука игра“. Узмите 2 броја из претходног корака - узмимо их х и к позовите их - и ставите их у израз:

((ак + х) (ак + к)) / а

Овим добијамо:

((8к + 8) (8к + 2)) / 8
Погледајте којим се од два појма у називнику може у потпуности поделити а. У овом примеру тражимо да ли се (8к + 8) или (8к + 2) може поделити са 8. (8к + 8) је дељиво са 8, па делимо овај израз са а а другога остављамо нетакнуто.

(8к + 8) = 8 (к + 1)
Израз који смо овде задржали је онај који остаје након дељења са а термин: (к + 1)
Ако је могуће, узмите највећи заједнички делитељ (гцд) из једног или оба члана. У овом примеру видимо да други члан има гцд од 2, јер је 8к + 2 = 2 (4к + 1). Комбинујте овај одговор са термином који сте открили у претходном кораку. То су фактори вашег поређења.

2 (к + 1) (4к + 1)

Метод 4 од 6: Разлика између два квадрата

Неке коефицијенте у полиному можете препознати као „квадрате“ или такође као умножак 2 идентична броја. Схвативши који су квадратићи, можда ћете моћи много брже да факторете полиноме. Узимамо једначину:

27к - 12 = 0

Уклоните гцд из једначине, ако је могуће. У овом случају видимо да су 27 и 12 дељиви са 3, па их можемо поставити одвојено:

27к - 12 = 3 (9к - 4)
Утврдите да ли су коефицијенти ваше једначине квадрати. Да бисте користили ову методу потребно је утврдити корен појмова. (Имајте на уму да смо изоставили знакове минус - пошто су ови бројеви квадратићи, они могу бити умножак 2 негативна броја)

9к = 3к * 3к и 4 = 2 * 2
Користећи квадратни корен који сте одредили, сада можете исписати факторе. Узимамо а и ц вредности из претходног корака: а = 9 и ц = 4, па су корени овога: - √а = 3 и √ц = 2. Ово су коефицијенти факторизованих израза:

27к - 12 = 3 (9к - 4) = 3 (3к + 2) (3к - 2)

Метод 5 од 6: АБЦ формула

Ако изгледа да ништа не функционише и не можете да решите једначину, користите формулу абц. Узмимо следећи пример:

к + 4к + 1 = 0

Унесите одговарајуће вредности у абц формулу:

к = -б ± √ (б - 4ац)
---------------------
2а
Сада добијамо израз:

к = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Решити за к. Сада бисте требали добити 2 вредности за к. Су:

к = -2 + √ (3) или к = -2 - √ (3)
Користите вредности к за одређивање фактора. Унесите к вредности добијене у две једначине као константе. То су ваши фактори. Ако одговоримо на двоје х и к два фактора записујемо на следећи начин:

(к - х) (к - к)
У овом случају, коначни одговор је:

(к - (-2 + √ (3)) (к - (-2 - √ (3)) = (к + 2 - √ (3)) (к + 2 + √ (3))

Метод 6 од 6: Коришћење калкулатора

Ако је дозвољено (или обавезно) користити графички калкулатор, то чини факторинг много лакшим, посебно за испите и испите. Следећа упутства су за ТИ графички калкулатор. Користимо једначину из примера:

и = к - к - 2

Унесите једначину у свој калкулатор. Користићете решивач једначина, познат и као екран [И =].
Графикујте једначину помоћу калкулатора. Када уђете у једначину, притисните [ГРАПХ] - сада бисте требали видети закривљену линију, параболу као графички приказ ваше једначине (а то је парабола јер имамо посла са полиномом).
Пронађите где се парабола пресеца са х оси. Будући да се квадратна једначина традиционално записује као ак + бк + ц = 0, ово су две к вредности које једначину чине нулом:

(-1, 0), (2 , 0)
к = -1, к = 2
- Ако не можете да видите где се парабола пресеца са х-осом, притисните [2нд], а затим [ТРАЦЕ]. Притисните [2] или изаберите „нула“. Померите курсор лево од раскрснице и притисните [ЕНТЕР]. Померите курсор десно од раскрснице и притисните [ЕНТЕР]. Померите курсор што је могуће ближе тачки пресека и притисните [ЕНТЕР]. Калкулатор ће приказати вредност к. Урадите то и за другу раскрсницу.
Унесите к вредности које сте добили у два факторска израза. Ако узмемо две х вредности х и к као појам израз који користимо изгледа овако:

(к - х) (к - к) = 0
Дакле, наша два фактора тада постају:

(к - (-1)) (к - 2) = (к + 1) (к - 2)

Савети

Ако сте полином рачунали у формулу абц, а ваш одговор садржи корене, можете претворити к вредности у разломке да бисте их проверили.
Ако пред чланом нема коефицијента, онда је коефицијент једнак 1, нпр. Кс = 1к.
Ако имате калкулатор ТИ-84, постоји програм који се зове СОЛВЕР који за вас може да реши квадратну једначину. Такође решава полиноме вишег степена.
После пуно вежбања, на крају ћете полимоме моћи да решите напамет. Али да бисте били на сигурној страни, боље је да их увек испишете.
Ако појам не постоји, коефицијент је нула. Тада може бити корисно преписати једначину. На пример. к + 6 = к + 0к + 6.

Упозорења

Ако учите овај концепт на часу математике, обратите пажњу на оно што наставник објашњава и не користите само свој омиљени метод. Од вас ће се можда затражити да користите одређену методу за тестирање или графички калкулатори можда неће бити дозвољени.