Садржај

• На корак

Тригонометријска једначина је једначина са једном или више тригонометријских функција променљиве тригонометријске криве к. Решавање к значи налажење вредности тригонометријских кривих чије тригонометријске функције доводе до тога да је тригонометријска једначина тачна.

• Одговори или вредности кривих решења изражени су у степенима или радијанима. Примери:

к = Пи / 3; к = 5Пи / 6; к = 3Пи / 2; к = 45 степени; к = 37,12 степени; к = 178,37 степени

• Напомена: На јединичној кружници, тригонометријске функције било које криве једнаке су тригонометријским функцијама одговарајућег угла. Јединица круга дефинише све тригонометријске функције променљиве криве к. Такође се користи као доказ у решавању основних тригонометријских једначина и неједначина.
• Примери тригонометријских једначина:
  • син к + син 2к = 1/2; тан к + кревет к = 1.732;
  • цос 3к + син 2к = цос к; 2син 2к + цос к = 1.

1. Јединствени круг.
   • Ово је круг са полупречником = 1, где је О исходиште. Јединица круга дефинише 4 главне тригонометријске функције променљиве криве к, која је кружи у смеру супротном од казаљке на сату.
   • Када крива са вредношћу к варира на јединицном кругу, тада важи:
   • Хоризонтална ос ОАк дефинише тригонометријску функцију ф (к) = цос к.
   • Вертикална ос ОБи дефинише тригонометријску функцију ф (к) = син к.
   • Вертикална ос АТ дефинише тригонометријску функцију ф (к) = тан к.
   • Хоризонтална ос БУ дефинише тригонометријску функцију ф (к) = цот к.

• Јединствена кружница се такође користи за решавање основних тригонометријских једначина и стандардних тригонометријских неједначина узимајући у обзир различите положаје криве к на кружници.

На корак

1. Разумевање метода решења.
   • Да бисте решили тригонометријску једначину, претворите је у једну или више основних тригонометријских једначина. Решавање тригонометријских једначина на крају резултира решавањем 4 основне тригонометријске једначине.
2. Знати како решавати основне тригонометријске једначине.
   • Постоје 4 основне тригонометријске једначине:
   • син к = а; цос к = а
   • тан к = а; креветић к = а
   • Основне тригонометријске једначине можете решити проучавањем различитих положаја криве к на тригонометријском кругу и коришћењем тригонометријске табеле за претворбу (или калкулатора). Да бисте у потпуности разумели како се решавају ове и сличне основне тригонометријске једначине, прочитајте следећу књигу: „Тригонометрија: Решавање тригонометријских једначина и неједначина“ (Амазон Е-боок 2010).
   • Пример 1. Решити за грех к = 0,866. Табела конверзије (или калкулатор) даје одговор: к = Пи / 3. Тригонометријски круг даје другу криву (2Пи / 3) са истом вредношћу за синус (0.866). Тригонометријски круг такође пружа бесконачност одговора који се називају проширени одговори.
   • к1 = Пи / 3 + 2к.Пи и к2 = 2Пи / 3. (Одговори у року од (0, 2Пи))
   • к1 = Пи / 3 + 2к Пи и к2 = 2Пи / 3 + 2к Пи. (Детаљни одговори).
   • Пример 2. Решити: цос к = -1/2. Калкулатори дају к = 2 Пи / 3. Тригонометријски круг такође даје к = -2Пи / 3.
   • к1 = 2Пи / 3 + 2к.Пи, а к2 = - 2Пи / 3. (Одговори за период (0, 2Пи))
   • к1 = 2Пи / 3 + 2к Пи, а к2 = -2Пи / 3 + 2к.Пи. (Проширени одговори)
   • Пример 3. Решити: тан (к - Пи / 4) = 0.
   • к = Пи / 4; (Одговор)
   • к = Пи / 4 + к Пи; (Проширени одговор)
   • Пример 4. Решити: креветић 2к = 1.732. Калкулатори и тригонометријски круг дају:
   • к = Пи / 12; (Одговор)
   • к = Пи / 12 + к Пи; (Проширени одговори)
3. Научите трансформације које се користе у решавању тригонометријских једначина.
   • Да бисте дату тригонометријску једначину претворили у стандардне тригонометријске једначине, користите стандардне алгебарске претворбе (факторизација, заједнички фактор, полиноми ...), дефиниције и својства тригонометријских функција и тригонометријских идентитета. Постоји око 31, од тога 14 тригонометријских идентитета, од 19 до 31, који се називају и трансформационим идентитетима, јер се користе у конверзији тригонометријских једначина. Погледајте горњу књигу.
   • Пример 5: Тригонометријска једначина: син к + син 2к + син 3к = 0 може се претворити у производ основних тригонометријских једначина помоћу тригонометријских идентитета: 4цос к * син (3к / 2) * цос (к / 2) = 0. Основне тригонометријске једначине за решавање су: цос к = 0; грех (3к / 2) = 0; и цос (к / 2) = 0.
4. Наћи криве за које су познате тригонометријске функције.
   • Пре него што научите како да решавате тригонометријске једначине, треба да знате како брзо да пронађете криве по којима су познате тригонометријске функције. Вредности конверзије кривих (или углова) могу се одредити помоћу тригонометријских табела или калкулатора.
   • Пример: Решити за цос к = 0,732. Калкулатор даје решење к = 42,95 степени. Јединица круга даје друге криве са истом вредношћу за косинус.
5. Нацртај лук одговора на јединичном кругу.
   • Можете створити графикон за илустрацију решења на јединичном кругу. Крајње тачке ових кривих су правилни полигони на тригонометријској кружници. Неки примери:
   • Крајње тачке криве к = Пи / 3 + к. Пи / 2 је квадрат на јединичној кружници.
   • Криве к = Пи / 4 + к.Пи / 3 представљене су координатама шестоугла на јединичној кружници.
6. Научите како да решавате тригонометријске једначине.
   • Ако дата тригонометријска једначина садржи само једну тригонометријску функцију, решите је као стандардну тригонометријску једначину. Ако дата једначина садржи две или више тригонометријских функција, постоје 2 методе решења, у зависности од опција за претварање једначине.
     • А. Метод 1.
   • Претворите тригонометријску једначину у производ облика: ф (к) .г (к) = 0 или ф (к) .г (к) .х (к) = 0, где је ф (к), г (к) и х (к) су основне тригонометријске једначине.
   • Пример 6. Решити: 2цос к + син 2к = 0. (0 к 2Пи)
   • Решење. Замените син 2к у једначини користећи идентитет: син 2к = 2 * син к * цос к.
   • цос к + 2 * син к * цос к = 2цос к * (син к + 1) = 0. Затим решите 2 стандардне тригонометријске функције: цос к = 0 и (син к + 1) = 0.
   • Пример 7. Решити: цос к + цос 2к + цос 3к = 0. (0 к 2Пи)
   • Решење: Претворите ово у производ помоћу тригонометријских идентитета: цос 2к (2цос к + 1) = 0. Сада решите две основне тригонометријске једначине: цос 2к = 0 и (2цос к + 1) = 0.
   • Пример 8. Решити: син к - син 3к = цос 2к. (0 к 2Пи)
   • Решење: Претворите ово у производ користећи тригонометријске идентитете: -цос 2к * (2син к + 1) = 0. Сада решите две основне тригонометријске једначине: цос 2к = 0 и (2син к + 1) = 0.
     • Б. Приступ 2.
   • Претвара триг једначину у триг једначину са само једном јединственом триг функцијом као променљивом. Постоји неколико савета о томе како одабрати одговарајућу променљиву. Уобичајене променљиве су: син к = т; цос к = т; цос 2к = т, тан к = т и тан (к / 2) = т.
   • Пример 9. Решити: 3син ^ 2 к - 2цос ^ 2 к = 4син к + 7 (0 к 2Пи).
   • Решење. У једначини замените (цос ^ 2к) са (1 - син ^ 2к) и поједноставите једначину:
   • 3син ^ 2 к - 2 + 2син ^ 2 к - 4син к - 7 = 0. Сада користите син к = т. Једначина постаје: 5т ^ 2 - 4т - 9 = 0. Ово је квадратна једначина са 2 корена: т1 = -1 и т2 = 9/5. Можемо одбити други т2, јер је> 1. Сада реши за: т = син = -1 -> к = 3Пи / 2.
   • Пример 10. Решити: тан к + 2 тан ^ 2 к = цот к + 2.
   • Решење. Користите тан к = т. Претворите дату једначину у једначину са т као променљиву: (2т + 1) (т ^ 2 - 1) = 0. Решите т из овог производа, а затим решите стандардну тригонометријску једначину тан к = т за к.
7. Решити посебне тригонометријске једначине.
   • Постоји неколико посебних тригонометријских једначина које захтевају одређене претворбе. Примери:
   • а * син к + б * цос к = ц; а (син к + цос к) + б * цос к * син к = ц;
   • а * син ^ 2 к + б * син к * цос к + ц * цос ^ 2 к = 0
8. Научите периодична својства тригонометријских функција.
   • Све тригонометријске функције су периодичне, што значи да се враћају на исте вредности након ротације током периода. Примери:
     • Функција ф (к) = син к има тачку 2Пи.
     • Функција ф (к) = тан к има Пи као тачку.
     • Функција ф (к) = син 2к има Пи као тачку.
     • Функција ф (к) = цос (к / 2) има 4Пи као период.
   • Ако је период наведен у вежбама / тесту, онда само требате пронаћи криву (е) к у овом периоду.
   • НАПОМЕНА: Решавање тригонометријских једначина је лукаво и често доводи до грешака и грешака. Стога одговоре треба пажљиво проверити. Након решавања, одговоре можете проверити помоћу графичког калкулатора, за директан приказ дате тригонометријске једначине Р (к) = 0. Одговори (као квадратни корен) дати су у децималним местима. Као пример, Пи има вредност 3,14